x〓a(X;), ∑ (1.57) 在这个格式中,点的位置随对流项移动,而大小随扩散项变化。 如果同时利用(153)和(1.54)而假定质点不移动,则有 X〓0 ∑a;X)〓"∑ (15.8) 如果我们用8逼近8",可得到格式 0, X一叹X)十“∑叫;即 (15.9) 在这个格式中,质点大小不变,对流、扩散都用质点位置变化来通 近 对于格式(157)_(159)我们作如下的评价:如果(155 (15.6)是相容的,则上面三种格式形式上都是弱相容的.需要引 起注意的是系数a和依赖于点{X1,…XM}的位置。一般 地,矩阵(a)和(问)为带状矩阵,带宽依赖于(155),(156) 的带宽。在(158)中,质点不动,所以系数为常数。在(1.5.7), (15.9)中,对流项是精确计算的,還近由扩散给出。而在(1.5.8) 中,对流、扩散都用逼近描述。由于这个原因, Lagrange格式 (157)(159)一般给出较为精确的结果,尤其是当对流项为主要 部分的时候。 所有这些格式都能扩展到多维情形,方程设为 af 十a·vf 其中f一fx,),a和都是m维向量。 类似地有 2u;8(x-X 在这种情形,a4t是向量系数,用来逼近函数的梯度
Vd(x;)≈∑中X;) 而F用来邏近 Laplace箅子: △小(x)≈∑阳(X) 利用格式(157),(15.9)的主要困难在于每时间步都需要 计算这些系数。这就是为什么有限差分 Euler格式比自由的Lag range格式容易求解的原因在(15.8)中点是定的,它们没有随 流体”而运动。与跟踪流体质点比较,它们需要用更多的点来表 示初始条件,或者通过增加需要的点,删去不必要的点来实现网格 的人工校正.而在(1.57)中,点按对流移动,一般不需要很多额外 点来描述扩散。在(159)中,点按对流扩散移动原则上,阙格自 然生成,点的运动反映了支集的传播,不必用额外的点来描述对流 与扩散。 上面方程为线性的,对拟线性方程我们也可以用同样的思想 来构造格式,特别是对 Navier- Stokes方程,有很多人考虑过确定 型格式下面我们有选择地加以介绍.对 Navier- Stokes方程的确 定型格式既可以有粘性分离,对 Euler方程用涡团法计算,对热传 导方程用确定型格式,也可以没有粘性分离整个方程用确定型格 式求解。 a)cot和Mas- Gallic的方法类似于(157),对流项是精 确的,通过改变涡团的强度来道近扩散项 设位置为X,强度为观,aoV,其中;为涡的局邮值 V;为体积。位置追随流体运动 dX: (X;(t),),X(0)一Ⅹ (1510) d 在不可压缩流体中,V不随时间变化,上述算法用下面的方程来 逼近扩散项: 2-∑(a-a)V(X,一x),(1.1) (0)-c(X,0) 5
其中6为一个小的参数,涡团函数赖于8,当e→0,它的 极限就是δ函数。可以先取一个函数(x),然后令 当(x)只依赖于|x|并且 x孔(x)dx-2,i R 时,将函数关于x点作Tyor展开可以得到 △co( (x))(x-y)d+O(e2) 由此即可导出(15.11).以上为二阶格式,也可以导出四阶格式 来 b) Fishlow[1中对粕性流提出了一类确定型算法,它与情 形a)一样,关于对流是精确的:即 d: 再用涡团法求解 dx1() K6(X∴t)一X;();2, 这里K(x)一K水中,K即(111)中的速度 K 中。为截断函数,中(x) 扩散项的离散基于下面的 逼近 (x吣水中 △a(x)≈*△中 我们可以得到如下一类格式: dX t) ∑K(X;(t)-x(t))()2 d2 do, (o) △中2(x()一x())a;(以)
Fisheloy证明了上述格式的相容性和对热传导方程的稳定性。 c) Degond和 Mustieles'提出了一类确定型算法,关于 对流项的处理与a),b)一样,主要差别在于对热传导方程的处 理。我们把热传导方程形式上化为特征形式,再用对流项的处理 方法形式上处理扩散项。考虑热传导方程 d e ·((x,)yo)-0 (1512) s(x,)是正定矩阵,将它化为守恒形式 十V·j-0, (1.513) xt)一一S(x,)V。 (1.5.14) 在形式上将上述方程写成对流形式 ato ⅴ·(A(x,r) (1515) 由(1.514)2A(x,)为 A(x,)o(x,)一x,) S(E, sVo(. s) 于是 A(x,t)--(x,)o(x,t)/a(x,x).(I5.16) 若假设(x,)已知,则(1515)为对流方程,用质点逼近初值c, 则逼近解形式上为 x,t)-∑a(x一x 其中X)满足 dX Ct A(X;(t),),X(0)X 考虑光滑逼近 ∑a(x-x(), 则它的微商可以求出得到A(x)的逼近为(1.5.16),从而得到
的确定型算法为 dx e) S(X(),)∑aV(X()一x;() cX()一X(t) X(0)=X 对于 Navier- Stokes方程,考虑到对流项以及S为单位矩阵,得 dX t ∑K(X)-xA ∑av(X(t)一x) ∑a(X()-X) 56.快速涡团算法 为了更真实地反映流体运动,有时需要计算大大小小的润达 万个,甚至更多,如果是直接地去解N体问题如(11.12)或 (1.;.16),每步需要的计算量达到O(N2),即使是当今最快的计 算机,如此大的计算量也是不能承受的。对于N体问题现在已有 很好的办法来描述它们之间的相互作用,并且仅仅只要直接计算 小部分的相互作用,从而达到节省计算量的目的.这些算法是基 于远处的涡团可以被看作点涡,这一思想首先被 Anderson发现 并完善成为局部校正方法(MLC)另一有意义的方法是由ⅴ Rokhlin和L. greengard提出,我们称之为多极展开方法 (MEM),下面我们将分别介绍这两种方法 61局部校正法—无粘情彩 局部校正法的核心是通过解下面方程来计算润点中心的运动 a(x;(),r) (16.I) ·3