§3.随机游动涡团法 涡度法的最大应用是求解不可压缩高 Reynold数流动。这时 求解的是 Navier- Stokes方程。我们就二维情形讨论,方程为 +(x∵)+1vP-2△+f,(1,31) (13.2) 其中为粘性系数,我们设它为常数,为了叙述上的方便,我们仍 然假设外力f有势.以一ⅴA作用于方程(131)并且令 得 十z·Vao=△c (133) 为了计算上的方便,我们把它无量纲化,取一个特征长度L,一个 特征速度U,令 UL 代人(1.3.3)得 00+“·V-UL △ 令R〓,它称为 Reynold数,为了书写上的方便,仍以, ,,z分别表示无量纲化以后的速度、涡度、时间与空间变量,则 有 十·Vω四R-△ω, (134) 为了保持求解 Euler方程时沿特征线积分的优点,求解 (134)时常用多步法。即把时间分割为长△的小区间,在每个 时间步内把方程(134)分解成两个方程
aco 十“·V (135 6 R-△ (136) 例如,从时间ε求解到(i+1)△r,我们首先有初值o(x i△r)先解(1.3.5),当然要和(1.15)(11.6)联立当z=(i+1)△ 时,我们把解记作a(x,(i+1)△),然后把它作为t=i时的 初值求解(1.3.6).当t=(i+1)△t时,我们把它的解才记作 (x,(i+I)△z),以此为初值进行下一步求解,如此循环往复,如 果写成公式,我们有 (n△r)=(H(△)E(a))", (13.7) 其中R()是 Euler解算子,即当是下述问题的解时 十謀·V 我们就记亠E(t)o.H(t)是热传导方程的解算子,即当是 下列问题的解时: R 我们就记=H()oa 以上是涡度-流函数公式的提法,如果回到原始变量,我们实 际上就是求解下述的两个方程组: +(w·v)w+1vp-f (13.8) y·a=0, (139) 与 n,1 VP=2△#, (1.3.10) 0 (1.3.11)
多步法的公式就是 H(n△t)=(H(△r)E(△t))°, (1312) 这里H与E的意义与(1.37)中的不同,它们是对应了求解原始变 量的方程,因为不会发生混淆,我们就不把它们与(137)中的记号 相区别了。现在考查的是全空间的情形,方程(13.10)(1311)还 可以作一些简化,以勐为初始条件,当求解(1.3.10)(13.11)的初 值问题时,我们实际上只要求解 2△ (1.31 ri△ (13.14) 就够了,这是因为如果#是(1313),(1314)的解,令P一0,它 也满足(1.310)又因为x是从上一步得来的,所以有v·=0, 以ⅴ作用于(1.313)(1314)得 6v· “lai△ 由热传导方程解的唯一性,·“-0,于是(1311)也满足,又 (1.310)(1311)(114)的解是唯一的,所以它就是(1313) (13.14)的解 现在方程(13.5)用涡团法求解,为了与之匹配,(136)也应该 用涡团法求解, Chorin在[!]中建议用随机游动法解(1.36)。设 +1,计+)为求解(135)后某一涡团的中心位置则令 “+一箸计++n1,x2+0一++m2 其中m与m2是独立的Gus分布随机变量,期望值为0,方差为 2△t/R。 公式(137)或(13.12)称为“粘性分离”( viscous splitting), 它的优点是保持了特征线法的高精度的特点,在 Reynold数R很 大时,用通常的方法求解(1.34),对流项#·V的离散化会产生 很大的数值粘性,从而掩盖了粘性项R-△,现在的特征线法在 理论上是没有数值粘性的, Reynold数仅出现在方程(1.3.6)中
而这是一个无对流的热传导方程,它是较容易处理的,高 Reynold 数也没有困难。 关于公式(137)(1312)合理性,我们将在第四章中作详细 的论证 下面讨论有边界的情形,这是最困难的,也是必不可少的,因 为边界层分离涡流,湍流等都由边界引起。对于方程(131), (1.3.2),我们仍假设最简单的固壁条件 Mz∈9 (13.15) 这时要注意的是,对于(1,38)(13,9)或(13.10)(1.3.1),边界条件 是不一致的,对于前者,边界条件是(1117),而对于后者,边界条 件是(1315)。当我们求解(1.3.8)(1.3.9)以后,不会满足 (1315),再求解(1.310)(1.311)时,初值与边值是不相容的,初值 可能在切向有很大“滑动” 对于方程(135)与(13.6),边界条件也不一样,对于前者,边 界条件体现在 △中 0 中。而对于后者,因为速度在边界上无论是切向分量还是法向分 量都等于零,由(11.5)(1.16)得 △中 (L,31 anao 表面上看来,(1316)是超定的,因为对于一个二阶椭圆型方程同 时给了 Dirichlet边界条件与 Neumann边界条件,但是对于热 传导方程,我们没有加任何边界条件,这个问题的提法仍然是适 定的 为了满足无滑动条件, Chorin [1]中建议采用一种“满旋生成算 子”,设求解(1.3.5)以后,在界附近 的流场如图1所示,我们考查局部 流动,不妨设边界近似为一条直线, 将切向速度作奇开拓,法向速度作 图1 17
偶开拓,这样就把速度场延拓到区域Q之外,在边界上按照平均的 观点,可以认为速度等于零,在边界a9上切向速度有间断,在 计算涡度时,它的导数必然是广义函数,可以认为有一个“涡片 vortex sheet)集中在O9上,它的强度为2(w·)8,其中τ为 单位切向量,8为沿法向约b函数, 再把这个涡片离散化,形成了边界 上的一个个小涡团(图2),加上这 些小涡团来保证无滑移条件,按照 这种设想,公式(137)改为(参看 Chorin-Hughes-Mc Cracken-Mars- den [1]) (m△t)=(H△)8E(△t)·o 13.17 其中6为“涡旋生成算子”。这种做法与实际观测到的物理现象是 吻合的。在实验中,边界附近确实生成不少新的涡旋。关于公式 (1317),我们也将在第四章中作仔细的研究。 §4.变椭圆涡方法 在前面几节我们没有考虑方向性问题,涡团也设计为圆形的, 但是在流体运动中方向性是于分显著的.例如边界层一般很薄, 各方狗的尺度就很不一样,下面我们介绍滕振蜜在[1],[2】中提出 的考虑到方向性的二维椭圆鸦方法 令 σ,x∈ 5() 0,x(a,b) 其中 Q(a,b) +2≤ 仍有表达式(1114)。而方程 4中}(