令涡度 me curl“,我们以cur算子作用于方程(1.1.1 得 +(·)a-(·y)"-0 (12.1) 沿着特征线有 U·v (I22) 与(1.1.8)对照,右端不再等于零,这一点给计算和理论分析都带 来了困难。方程(12.2)还有一个等价的形式,为了给出这一形 式,我们有必要把特征方程(1.1.7)用稍微详细一点的形式给出. 设特征线在四维空间中经过(x,)点,以v表示特征线上的时间 参数,则特征线可以表示为:55(x;x,,它满足 5(τ3x,),r) (123) (;x,) (124) 有时为了表示点是一个五元函数,(1.2.3)的左端也写成偏微商 Q5.对于特征线上的一点(,x),x称为它的“ge坐标, 沿着特征线, Lagrange坐标是不变的 方程(1.2.2)的等价形式是 (5(;z,0),) (*), (125) ar 其中o(x)是的初值c(x0)。将(1.2.5)关于求导并利用 (123)可以得到另一个也是等价的形式 do(5(x,0),,(红;,0)1 (1.2.6 这里要注意的是,“,x都是向量,所有无论方程(125)还是 (126),微商 实际上都是 Jacobi矩阵 8x" 现在我们证明(122)和(125)是等价的,我们只要证明,由
〈125)给出的函数ω(5,l)满足方程(122)和初始条件就够了 当=0时,〓x,由(1.25)直接可以看出满足初始条件 由(12.5)可以导出(1.26),再用复合函数求微商的锁链公式, (1.2.6)的右端就是 x0(x)~Oa05 6祥 (0(), 05a 再以(1.2.5)代人即得m,与122)的右端一致.因此∽满足 方程(1.2.2).这样我们已经证明了二者的等价性 在用涡度法时,需要解(122)或(125),右端的微商可以用差 分来实现所不同的是,在(1.22)中是关于 Euler坐标求差分,而 在(125)中则是关于 Lagrange坐标求差分。因此,在用(125) 时,我们需要记住每一点涡或涡团中心的原始位置,这是它的不方 便之处 对于三维涡度法,也需要类似于(1.1.5)(11.6)的公式,以便从 涡度求速度.这个问题远比二维问题复杂,因为这时我们没有与 略径无关的曲线积分,标量的流函数已不复存在,我们转而考查 是否存在向量的流函数。首先考虑全空间R的情形,设4为空间 R中的一个流场,满足·一0,我们令a- curl w,设向量 函数中为如下 Poisson方程的解 (1,27) 我们希望得到 (12.8) 以算子curl作用于方程(1.27得 curl△小= curl co。 curl与△是可以交换的,即 △curl中 于是 △curlφ= curl curlψ, 因为y·Mm0,由场论公式可知
curI curl t 于是 △(curl中一)〓0, 在全空间R,curφ-“是 Laplace方程的解。由解的唯一性, 只要在无穷远处有零边界条件,就有 这就是我们所要证明的在这种情形下,方程(127)与方程(116) 并没有区别。 但是,实际上,这里有一个很大的区别。我们应当知道,在涡 度法中,是通过(1.114)表示的。在三维情形,它一般也并不是 一个速度场的旋度,因此,从(1.27)(128)解出#以后,它与也 不存在关系式- curl u,尽管如此,因为是一个精确的涡度 场的近似,所以由(127),(128)得到的#也是相应的精确的速度 场的一个近似,以上方法仍然是可行的 在三维空间中,算子一△的基本解为1,因此 中(x,r) co (5, tdd5 4xjr' El 再由(128)得 3 (,n)d+“(t),(1.2.9 其中(t)为无穷远处的速度.类似于(1I14)可以有 a(x,)=∑a)(x-x(t), (1210) 这时a;(t)不仅依赖于时间t,而且是一个三维的向量。把 (1210)(129),(122),(123),(124)联立起来就可以求解 下面考查有边界的情形。设求解的区域为Ω,在有关的文献 中可以看到这样一个公式: (x,) x-5×o(5,r)d5+v中,(1.211) E 其中φ是一个速度势函数,它是 Laplace方程的一个解同样,v
表示了一个无旋的不可压缩流场,它的作用是使得边界条件 (11.17)得以满足而不改变流场的涡度与不可压缩性。公式 (1211)显然是从(11.19)与12.9)而来。可惜的是,它是错误的 问题在于(12.11)式的右端的第一项的旋度一般并不等于 a(x,t),哪怕o(x)确是一个涡度场。我们可以借用前面关于 全空间的分析来说明这一问题,令 a(x, s) (x,B),x∈Ω 那么上述积分仍可以写成在全空间求积分的形式, p(x,) 12xa0 如果能有一个速度场,使〓curz,我们就可以证明 curl"幽西, 但是现在负是一个间断函数,即使在Q内是一个涡度场,在全 空间,也不是任一速度场的涡度它也不是某一个速度场的祸度 的近似。 我们还可以通过直接验算进行检查。(1211)可以写成 (。)1 curl o I*=Eo(5, 1)45+vp. 于是 yo lx-5l 我们知道 -△(4x1 (,)d5 (#,),x∈ 所以只要检查下式是否成立 △x-gia(s,2)5 curl curl o(s, iz一5 由场论公式 curl curl f--山+ grad div f,我们只需检查下式 是否成立:
grad v o t 利用Gaus公式可得 与,z)d (,)4 1·ve·a(5,+)4 x一l co(5, t).nds, 其中v表示关于求导,ds表示在∂9上的曲面微元.现在 设在日内确等于 curl v,其中φ是一个速度场,则v;·(5, )一0.但是右端第二项一般是不会等于常数的。因此以上等式 般不成立,这就是有边界时所带来的困难 从这里我们还可以得到一个条件:如果a在边界上等于 零,那么公式(1.211)是正确的。但是这种情形并无太大的实际意 义,在实际问题中,涡场一般集中于边界附近,是不会等于零的。 在应隆安[1中,我们建议用如下的方法从涡度场求速度场 求#与q,使 △a+q- curl ta, 4·8g=0,curl“×n!a〓×nlsg 这个问题有唯一解,从而就得到了所要的速度场x。因为如果 是一个不可压缩的速度场,·M-0,#·群。=0,而且 CUTI# 那么只要取甲=0就可以看出所有方程与边界条件都可以满足 如果是一个近似的涡度场,这时一般不会有·-0,它就 可以分解成两项,项为不可压缩场,另一项为梯度场,梯度场在 方程中不起作用,不可压缩场则对应了#,这时不会有=curl 但是x也是近似正确的在应隆安[1中,还给出了这个问题 的 Galerkin方法求解的公式。 当然还可以设法通过流函数来求a,关于这方面的研究,读者 可以参看 Dubois[l],这里就不介绍了