dX, (.E (-x1()+X2(t),X,()-X;(t) de ·Xt)-K;()P2 r∈J (1.II2) 以及初始条件 x(0)一X (1.113) 这种做法,粗看完全没有道理,但是,我们在第三章的理论分析中 可以看到它是能够收敛于精确解的 在公式(1.1,11)中,在无穷远处“=0,如果在无穷远处有 个均匀的流场(),那么在(1.1.11)与(1.1.12)的右端可以 加上w(这一项.因为x()并不影响涡度a,所以整个计 算方法不变。 用点涡法计算时,如果点涡个数较少,则可以得到一个大致上 合理的流场.当点润个数增多时,出现了混沌。在第三章中,我们 将给出点涡法收做的证明,这说明当点涡个数非常多时,也即初始 点涡距离足够接近时,才能保证点渴解的存在性,也才能得到原问 题的一个好的近似。但是初始点涡要密到什么程度,这一点似乎 还未得到实际计算的回答 为了克服点涡法的上述缺点,可以使用涡团法,即用一个没有 奇异性的函数(x)代替δ函数,很自然地要求具有性质: scr)dr m 1 R 最常见的“涡团函数”有 (a)常数分布 (x) 0,1x}>σ (b)奇性分布 (x)一
(c)正态分布 5(a) eXP 这样的函数自然还有很多,可以在参考文献上查到。利用它们,可 以进行许多数值试验,此处就不一一列举了。对于这些函数流函 数也有相应的形式,公式(1.1.12)也要作相应的调整这时,我们 有 称(x一X (11.14) 设方程 在全平面上的解为中(x),则有 中(x-x), (1115) #∑∧φ(x-X))+(t dX v∧中Xt)一x)+(), v∈J (116) 这时Aψ没有奇性,所以也不必要求j≠在一些简单情形, 中的解析表达式是可以写出来的,例如常数分布。我们将在第4 节讨论椭圈漏时写出ψ的表达式,面洞就是它的特例因此这且 从略 如果外力没有势,则只要把形式稍作变动即可。令 F=-vAf 则方程(1.1.3)变成了 十罈 F 方程(1.1.8)变成了
(1.1.9)就转化为 (x,)=∑ar)8(x-X()) 于是有 da a8(x-X;()÷F(x,t) 在每一时刻,把F作近似分解: F(r, t) ix)6(x-x;(t), 就有 da; t) 下面考查有界的情形.设流场局限在区域Ω内,在它的边界 09上应该有适当的边界条件。我们取常见的固壁条件 其中#是09上的单位外法线向量 首先设Q是一个有界的单连通区域,它的边界∂9是一条光 滑的简单闭曲线.这时我们只要把(1.1.4)中的x点取在边界6 上,不难看出,沿着整个边界ψ都等于零,即 0 于是求解φ的问题就是求解 Dirichlet问题(1.1.6),(1.1,18) 这个问题的解法很多,例如,我们可以把解分解为两部分 -1[(=+5二(分+四h |2 (1.119) 其中第一部分使方程(1.1.5)(1.1.6)得以满足,四表示一个无 旋的不可压缩流场,中为 Laplace方程的解,它的作用是使边界条 件(11.17)成立,而不改变流场的涡度,也不影响不可压缩性,求 解(1.1.6),(1.1.18)的其它方法还有:差分法、Grea函数法、 有限元方法、边界元方法等。当使用差分法或有限元方法时,人们 把它又称为“胞腔内的涡度法( vortex in cell)”,这些方法都是
常规的,我们就不一一叙述了 如果OQ是一条光滑的简单闭曲线,Q是它的外部,以上的 做法仍然没有本质的差别。但是,如果Q是一个更为复杂的多连 通区域,问题就困难了。下面我们设Ω是一个有界的多连通区域, 说明上述算法应作什么改正 设由N+1条简单闭曲线ra,F1,F2,……,TN组成,其 中r1,…,rN均在ro之内,它们之间既不相交也不互相包含 取(1.1.4)中的x点在了上,于是,φlr。-0,但是中在r1… TN上一般地都不会等于零。从方程(1.1.17)可知中在每条闭曲 线了;上都等于一个常数C;,这个常数是未知的.我们考查如下 的边值问题 i=1, N 其中 它有唯一解。我们再考查一个边值问题 它也有唯一解,于是流函数等于 b〓q+2c)甲, (1.120) 其中ct)在每一时刻z为边界r;上的常数值,这里c(t)是 不能从确定的,由(1.1.20)得: =y∧q+∑C)vAq 令“=V∧甲分),则有 =+∑c;()n) (1.1.21)
把(1:1.21)代人方程(1.1.1)得 ∑C+(n+2c)n)v (9+c())+dvp- 任取讠1≤i≤N,用与上述方程作内积,令ai-(n ④P),我们注意到(y,")=0以及(vp,)一0,便得 ∑c+(4+:coo)y) ∑ct) 这是一个C1(t),,CN(满足的常微分方程组。它的初值可以 由(1.1.20)确定因为当!=0时,是已知的,求出c()以后, 代人(1.1.21)就得到了速度 以上所述的涡度法,都是把原问题归结为一个常微分方程组, 在实际求解时还需要对它进一步离散化,例如用差分方法,这时 会产生点涡或涡团的中心越过边界到区域Q之外的问题。由于边 界条件(11.17),X;()是不应穿过边界的,但是离散化以后,由 于求得的是近似解,因此难免会发生上述情况.当点越过边界时, 有许多处理方法,例如把这个点取消,或者采用反弹的方法,把它 弹回区域Ω.但是我们将在第三章给出的理论分析表明,不妨把区 域Ω略扩大一点,当点越过边界时,仍然继续按方程(1.1.7)计算 这时由于9外速度场没有定义,可以用外推方法得到囗之外不太 远的地方的速度场,用这种方法可以保证收敛性 §2.三维Eler方程的涡度法 三维方程仍可以用(1.1.1)与(1.L.2)表出,所不同的是:M 为三维向量(,n2,4),为了叙述简便起见,我们仍然设外力有