第二讲 线性方程组直接解法 Gauss消去法和LU分解 2 特殊方程组的求解 3 扰动分析* 4 解的改进* 现代数位分析（数位线性代数），潘建瑜 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan
第二讲 线性方程组直接解法 1 Gauss 消去法和 LU 分解 2 特殊方程组的求解 3 扰动分析 ∗ 4 解的改进 ∗ 现代数值分析（数值线性代数）, 潘建瑜 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan
2 秦 特殊方程组的求解 2.1对称正定线性方程组 2.2对称不定线性方程组* 2.3三对角线性方程组 2.4带状线性方程组* http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 2/42
2 特殊方程组的求解 2.1 对称正定线性方程组 2.2 对称不定线性方程组 ∗ 2.3 三对角线性方程组 2.4 带状线性方程组 ∗ http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 2/42
秦 2.1对称正定线性方程组 我们首先给出对称正定矩阵的几个基本性质 ·A对称正定当且仅当A对称且所有特征值都是正的； ·A对称正定当且仅当XTAX对称正定，其中X∈Rnxm是一个任意的非 奇异矩阵： ·若A对称正定，则A的任意主子矩阵都对称正定： ·若A对称正定，则A的所有对角线元素都是正的，且 maxlai)<maxfai}, 即绝对值最大的元素出现在对角线上. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/42
2.1 对称正定线性方程组 我们首先给出对称正定矩阵的几个基本性质. • A 对称正定当且仅当 A 对称且所有特征值都是正的; • A 对称正定当且仅当 X ⊺AX 对称正定, 其中 X ∈ R n×n 是一个任意的非 奇异矩阵; • 若 A 对称正定, 则 A 的任意主子矩阵都对称正定; • 若 A 对称正定, 则 A 的所有对角线元素都是正的, 且 max i̸=j {|aij |} < max i {aii}, 即绝对值最大的元素出现在对角线上. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/42
秦 Cholesky分解 定理(Cholesky分解)设A∈Rnxn对称正定，则存在唯一的对角线元素为正 的下三角矩阵L,使得 A=LLT. 该分解称为Cholesky分解. (板书) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/42
Cholesky 分解 定理 (Cholesky 分解) 设 A ∈ R n×n 对称正定, 则存在唯一的对角线元素为正 的下三角矩阵 L, 使得 A = LL⊺ . 该分解称为 Cholesky 分解. (板书) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/42
秦 Cholesky分解的实现 设A=LLT,即 a11 a12 01m l11l21 …lnl a21 a22 ···a2n l22 l21 122 …n2 ++ am1an2··· ann Inn 直接比较等式两边的元素可得 j-1 0i= =+ i,j=1,2,.,n. k=】 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/42
Cholesky 分解的实现 设 A = LL⊺ , 即 a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann = l11 l21 l22 . . . . . . . . . ln1 ln2 · · · lnn l11 l21 · · · ln1 l22 · · · ln2 . . . . . . lnn . 直接比较等式两边的元素可得 aij = ∑n k=1 likljk = ljj lij + ∑ j−1 k=1 likljk, i, j = 1, 2, . . . , n. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/42