准近似成立的条件 是一个很小的量。 Bloch波有独立物理意义的波矢被限制在第 一布里渊区内,△k 2丌 因为测不准关系(一维) △px·△x=h△kx·△x ∴Δx>a 这素明,如果波包的大小比原胞尽寸大得多,晶体中电子的运 动就可以用波包的运动规律来擂述。 ·对于输运现象,只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况 才可以把晶体中的电子当作准经典粒 波包移动的速度 (群速度)等于处于菠包中心处粒子所具有的平均速度。 外场应该是时间和空间的缓变函数,外场变化的波长远大于a, 频率,ho远小于禁带宽度
准近似成立的条件 • 由于Bloch 波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围△k应 是一个很小的量。Bloch 波有独立物理意义的波矢被限制在第 一布里渊区内，Δ𝑘𝑘 ≪ 2𝜋𝜋 𝑎𝑎 • 因为测不准关系（一维） ∆p𝑥𝑥 � ∆x = ℏ∆k𝑥𝑥 � ∆x ≥ ℏ 2 ∴ ∆x ≫ a • 这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的运 动就可以用波包的运动规律来描述。 • 对于输运现象，只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况 下，才可以把晶体中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度 （群速度）等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度。 • 外场应该是时间和空间的缓变函数，外场变化的波长远大于a， 频率，hω远小于禁带宽度
波包的速度 KeN(k)t 定义波包的速度 九 (k) VkEnCk) 九 波包的速度是波矢为K,能量为En(k)的布洛赫电子的群速度 量子力学中,晶体中处于ψz状态的电子,在经典近似下,其 平均速度相当于以k为中心的波包速度,而波包的传播速度是 群速度 0o(k) ak 量子力学中的德布罗意关系:E=九 所以电子的平均速度 1 dE(k) 九Ok
波包的速度 • 定义波包的速度 𝑣𝑣 𝑘𝑘 = 𝑟𝑟̇ = 1 ℏ 𝛻𝛻𝑘𝑘𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 波包的速度是波矢为K，能量为En(k)的布洛赫电子的群速度 • 量子力学中，晶体中处于ψ𝑘𝑘0状态的电子，在经典近似下，其 平均速度相当于以 k0为中心的波包速度，而波包的传播速度是 群速度： v𝑔𝑔 = 𝜕𝜕𝜕(k) 𝜕𝜕𝜕 • 量子力学中的德布罗意关系：E = ℏω • 所以电子的平均速度： v� = 1 ℏ 𝜕𝜕𝜕(k) 𝜕𝜕𝜕 𝑟𝑟 = 1 ℏ 𝛻𝛻𝑘𝑘𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝑡𝑡
证明 ·波包的群速等于布洛赫波的平均动量除以电子的质量,即 v(k)==lVkE(klk=(kpk)/m 由于布洛赫波函数满足ψ(r)=ek"rlk(r),得到 九 k 2m V)+v(rly hybkIhlyk E(k) alkly) alkly) 九 2m V +k +v(rluk kluk
证明 • 波包的群速等于布洛赫波的平均动量除以电子的质量，即 𝑣𝑣 𝑘𝑘 = 1 ℏ 𝛻𝛻𝑘𝑘𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 𝑝𝑝̂𝑘𝑘 /𝑚𝑚 由于布洛赫波函数满足ψk 𝑟𝑟 = 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑟𝑟𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑟𝑟 ，得到 𝐸𝐸 𝑘𝑘 = 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝐻𝐻 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘 = 𝜓𝜓𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 1 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 2 + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘 = 𝑢𝑢𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 1 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 + 𝑘𝑘 2 + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘
波包的速度 k)=言[kE(k) 根据群速度的定义可以得到 k) kim Vr+ k) +v(ruk) KuklukyI k|2m(+k)+())ap) [)j2 考虑到 ux/zm(V+k +v(rux=e(k)(uk luk (m(+8)+pop uk+k Juk +E(k(> 由此证明 2m( V+k 1v*[Rpr v(k)=m ( wxluk m kpk)
波包的速度 根据群速度的定义可以得到 𝑣𝑣 𝑘𝑘 = 1 ℏ � � 𝛻𝛻𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 1 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 + 𝑘𝑘 2 + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 2 − 𝑢𝑢𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 1 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 + 𝑘𝑘 2 + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝛻𝛻𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 2 考虑到 𝑢𝑢𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 1 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 + 𝑘𝑘 2 + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝐸𝐸(𝑘𝑘) 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 则 𝛻𝛻𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 1 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 + 𝑘𝑘 2 + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑢𝑢𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 1 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 + 𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 + 𝐸𝐸(𝑘𝑘)𝛻𝛻𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 由此证明 𝑣𝑣 𝑘𝑘 = 1 𝑚𝑚 𝑢𝑢𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 1 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 + 𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 1 𝑚𝑚 𝜓𝜓𝑘𝑘 ℏ 𝑖𝑖 𝛻𝛻𝑟𝑟 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑣𝑣 𝑘𝑘 = 1 ℏ 𝛻𝛻𝑘𝑘𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝑘𝑘
波包的速度 1(k)=↑ hen(k) 波包的速度是波矢为K,能量为En(k)的布洛赫电子的群速度 这个公式还表明:电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向,即 垂直于等能面。因此,电子的运动方向决定于等能面的形状,在一 般情况下,在k空间中,等能面并不是球面,因此,v的方向一般并 不是k的方向。下图比较准确地反映了 Bloch电子的这一特点
这个公式还表明：电子速度的方向为 k 空间中能量梯度的方向，即 垂直于等能面。因此，电子的运动方向决定于等能面的形状，在一 般情况下，在 k 空间中，等能面并不是球面，因此，v 的方向一般并 不是 k 的方向。下图比较准确地反映了Bloch 电子的这一特点。 波包的速度 𝑣𝑣 𝑘𝑘 = 𝑟𝑟̇ = 1 ℏ 𝛻𝛻𝑘𝑘𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 波包的速度是波矢为K，能量为En(k)的布洛赫电子的群速度