上次讲到: 为了得到清晰确切的结果,我们就必须对一个感兴趣的、特定固体的 实际势能(r)去求解单电子的 Schrodinger方程,然而即使是比较简 单的势,其 Schrodinger方程的求解过程也是一项数学推导极其繁琐 的工作,为了得到能与实验对照的结果,这样做当然是非常必要的。 但如果只是为了更好地进一步理解周期性势场对电子运动的影响,我 们最好是选择使用经过简化的势,用最少量的数学过程来求解 Schrodinger方程,以便专心地理解相关的物理问题
上次讲到： 为了得到清晰确切的结果，我们就必须对一个感兴趣的、特定固体的 实际势能V(r) 去求解单电子的Schrödinger方程，然而即使是比较简 单的势，其Schrödinger方程的求解过程也是一项数学推导极其繁琐 的工作，为了得到能与实验对照的结果，这样做当然是非常必要的。 但如果只是为了更好地进一步理解周期性势场对电子运动的影响，我 们最好是选择使用经过简化的势，用最少量的数学过程来求解 Schrödinger方程，以便专心地理解相关的物理问题
能带计算方法的理解(部分) Born- Oppenheimer绝热近似 Hatree-Fock平均场近似(单电子近似) 周期场近似( Periodic potential approximation) 复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题,单电子薛定谔方程为: 方2 2 ()k)=60(n)其中:(+)=7() 全电子势( Muffin-tin) 平面波 赝势 缀加平面波 凝胶模型(自由电子气的背景) 线性组合缀加平面波 散射函数 原子轨道线性组合 非周期性 数值 周期性 对称性
Born－Oppenheimer 绝热近似： Hatree－Fock 平均场近似（单电子近似） 周期场近似(Periodic potential approximation)： 复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题，单电子薛定谔方程为： ( ) ( ) ( ) 其中： 2 2 2 V r r E r m ψ = ψ − ∇ + V (r R ) V (r ) n + = 全电子势（Muffin-tin） 赝势 凝胶模型（自由电子气的背景） 非周期性 周期性 对称性 平面波 缀加平面波 线性组合缀加平面波 散射函数 原子轨道线性组合 数值 能带计算方法的理解（部分）
亚格的平面波方法 根据布洛赫定理,周期势场中单电子波函数是一个调幅平面 yk()=lk()elkk∈1BZ 波函数按倒格矢展开,可写为 1 yk(7) /NQ a(k+kn) 这是平面波的线性组合-自由电子的本征解的线性组合 为了求解待定系数a(k+Rn),将波函数带入波动方程 九 2m 72+V()|vk()=E(k)k() 可得: 2m (k+kh )-E)la(k+Kh)+2n'*hV(Kn-kn a(k+kn,) 由方程组系数行列式为零的条件,可得到确定能量本征值E(k)的方程 2 (k h,九 h′≠h ·原则上这是个∞×∞o阶行列式,实际计算时只能取有限阶行列式
严格的平面波方法 • 根据布洛赫定理，周期势场中单电子波函数是一个调幅平面 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑟𝑟⃗ 𝑘𝑘 ∈ 1𝐵𝐵𝐵𝐵 波函数按倒格矢展开，可写为 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 1 𝑁𝑁Ω� ℎ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘+𝐾𝐾ℎ �𝑟𝑟⃗ 这是平面波的线性组合−自由电子的本征解的线性组合 • 为了求解待定系数𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ ，将波函数带入波动方程 − ℏ2 2𝑚𝑚 𝛻𝛻2 + 𝑉𝑉 𝑟𝑟 ⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 𝐸𝐸 k 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ • 可得： ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 − 𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ ′ + ∑ℎ′≠ℎ 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ − 𝐾𝐾ℎ‘ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ’ =0 • 由方程组系数行列式为零的条件，可得到确定能量本征值𝐸𝐸 𝑘𝑘 的方程 det ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 − 𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝛿𝛿ℎ,ℎ′ + � ℎ′≠ℎ 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ − 𝐾𝐾ℎ ′ = 0 • 原则上这是个∞ × ∞阶行列式，实际计算时只能取有限阶行列式
43近自由电子近似
4.3 近自由电子近似
近自由电子近似( Nearly Free Electron) 在周期场中,若电子的势能随位置的变化(起伏)比较小,而电 子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时,电子的运动就几乎 是自由的。因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似,而 将周期场的影响看成小的微扰来求解。(也称为弱周期场近似)。 这个模型虽然简单,但却给出周期场中运动电子本征态的一些最 基本特点。 波动方程 九2 2m V2+v(r ()=E(k)yr( V()=V+ΔV,V为平均势,通常取为0;△V为相对于平均势的起伏
• 波动方程 − ℏ2 2𝑚𝑚 𝛻𝛻2 + 𝑉𝑉 𝑟𝑟 ⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 𝐸𝐸 k 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ 𝑉𝑉 𝑟𝑟 ⃗ = 𝑉𝑉� + ∆𝑉𝑉, 𝑉𝑉�为平均势，通常取为0；∆𝑉𝑉为相对于平均势的起伏 近自由电子近似（Nearly Free Electron ） 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电 子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎 是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而 将周期场的影响看成小的微扰来求解。（也称为弱周期场近似）。 这个模型虽然简单，但却给出周期场中运动电子本征态的一些最 基本特点