3.4三维晶格振动格波量子声子 三维晶格振动 维双原子链已经基本反映出了格波的主要特性,现在将推广到三 维复式晶格的情况。 设晶体中有N个元胞,每个元胞n个原子。 元胞的位置由正格矢决定Rt=l1d1+l2d2+l3a3 用指标/来标记。 定义位移矢量的分量,代表第个元胞中第个原子在σ方向上 的相对于平衡位置的移动 令该原子的质量为M。 系统有3nN个位移分量,3nN个自由度。每个元胞内有3n个自由度
3.4 三维晶格振动 格波量子——声子 一、三维晶格振动 一维双原子链已经基本反映出了格波的主要特性，现在将推广到三 维复式晶格的情况。 设晶体中有N个元胞，每个元胞n个原子。 元胞的位置由正格矢决定 用指标l来标记。 定义位移矢量的分量， 代表第l个元胞中第j个原子在σ方向上 的相对于平衡位置的移动。 令该原子的质量为Mj 。 系统有3nN个位移分量，3nN个自由度。每个元胞内有3n个自由度
系统动能 ∑2 系统势能: 02V dudu ljl’j j,σσ lj diol 应用经典力学中的拉格朗日方法,得到运动方程 n=-∑ ljo, li'oray j 其中Ayi,ya= 为力常数 lj lyo」0
系统动能： 𝑇𝑇 = � 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 1 2 𝑀𝑀𝑗𝑗𝑢𝑢̇ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2 系统势能： 𝑉𝑉 = 1 2 � 𝑙𝑙𝑙𝑙′,𝑗𝑗𝑗𝑗′,𝜎𝜎𝜎𝜎′ 𝜕𝜕2𝑉𝑉 𝜕𝜕𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝜕𝜕𝑢𝑢𝑙𝑙′𝑗𝑗′𝜎𝜎′ 0 𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑢𝑢𝑙𝑙′𝑗𝑗′𝜎𝜎′ 应用经典力学中的拉格朗日方法，得到运动方程： 其中 为力常数
02V ALjo, Ij'o unio Ouyo」o 它表示第l个元胞中第j个原子在σ方向上的单位位移对第个元胞中第 个原子在σ方向上产生的力,是一个张量 实际上它只与两个元胞之间的相对位置有关,而与绝对位置无关,所以: A1i,y=入yo(R1-B)
它表示第 l’个元胞中第j’个原子在 σ’方向上的单位位移对第l个元胞中第j 个原子在σ方向上产生的力，是一个张量。 实际上它只与两个元胞之间的相对位置有关，而与绝对位置无关，所以：
所以运动方程可以写作 m=-∑Am(1-成),Wy l'j' 它表示3nN个耦合方程组。这些方程具有平移对称性,平移指标,得到 完全相同的方程组。令格波解: 1=Aoel1-团 其中Ajq是振幅,与/无关。因为对于一个确定的q,任意元胞第j 个原子在σ方向上有相同的振幅,只不过从一个元胞到另一个元胞有 个相位ciRt,已经出现在e指数上了
所以运动方程可以写作： 它表示3nN个耦合方程组。这些方程具有平移对称性，平移指标l,l’得到 完全相同的方程组。令格波解： 其中 是振幅，与l无关。因为对于一个确定的q，任意元胞第j 个原子在σ方向上有相同的振幅，只不过从一个元胞到另一个元胞有一 个相位 ，已经出现在e指数上了
把格波解代入运动方程 1-=∑4m(- i[.Ry-wt y 两边消去clRt-u 得到: M24mx∑{∑m-)}4m ∑
把格波解代入运动方程： 两边消去 得到：