微扰计算:考虑长度L=Na的一维晶体 九2d 2mdx2+U(x)|(x)=Ep(x) 周期性势场:U(x)=U(x+a)a为晶格常数 因其周期性,可作 Fourier展开: 2丌nx U(x)=U0+〉 Unexp 其中U=/U(x)dx=0势能平均值U视为常数 10=02 根据近自由电子模型,Un为微小量。电子势能为实数,U(x)=U*(x),得
三、微扰计算：考虑长度L=Na的一维晶体 − ℏ2 2m 𝑑𝑑2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥2 + U x 𝜓𝜓 𝑥𝑥 = E𝜓𝜓(𝑥𝑥) 周期性势场： U(x)=U(x+ a) a为晶格常数 因其周期性，可作Fourier展开： U x = U0 + � 𝑛𝑛≠0 𝑈𝑈𝑛𝑛exp(i 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎 ) 其中U0 = 1 𝐿𝐿 ∫0 𝐿𝐿 𝑈𝑈 x dx = U� 势能平均值U�视为常数 U0 = 1 𝐿𝐿 � 0 𝐿𝐿 𝑈𝑈 x exp(−i 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎 )dx 根据近自由电子模型，Un为微小量。电子势能为实数，U(x)=U*(x)，得 Un*=U-n
1.非简并微扰Hyk=E(k)少k 这里,单电子哈密顿量为: 九d H 2m dx2 tU(x) 九2d 2 Tnx 2max2+00+ Un exp =Ho+h 零级近似 九2d +U 2m dx2 代表周期势场的起伏作为微扰项处理 2丌nx H exp n≠0
1.非简并微扰 H𝜓𝜓𝑘𝑘 = E(k)𝜓𝜓𝑘𝑘 这里，单电子哈密顿量为： 𝐻𝐻 = − ℏ2 2m 𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑥𝑥2 + U x = − ℏ2 2m 𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑥𝑥2 + U0 + � 𝑛𝑛≠0 𝑈𝑈𝑛𝑛 exp i 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎 = H0 + H′ 零级近似 𝐻𝐻0 = − ℏ2 2m 𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑥𝑥2 + U0 代表周期势场的起伏作为微扰项处理 𝐻𝐻′ = � 𝑛𝑛≠0 𝑈𝑈𝑛𝑛 exp i 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎
分别对电子能量E(k)和波函数v(k)展开 E(k)=Eb)+F(1)⊥p(2) w (k)=k + yk +yk 将以上各展开式代入 Schrodinger方程中,得 零级近似 Ho 0) 一级近似 Howk+H'vPi=ek v a)+En vko 二级近似 Hou2+H O=EDO) l2)+EM) a)+E(2)1DO 零级近似方程 (0) (0),n(0) 能量本征值:(令U=0) 九k 九2k 2m+Uo= 2m
分别对电子能量 E(k) 和波函数ψ(k) 展开 E k = E𝑘𝑘 (0) + E𝑘𝑘 (1) + E𝑘𝑘 (2) + ⋯ 𝜓𝜓 k = 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) + 𝜓𝜓𝑘𝑘 (1) + 𝜓𝜓𝑘𝑘 (2) + ⋯ 将以上各展开式代入Schrödinger方程中，得 零级近似 𝐻𝐻0𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) = E𝑘𝑘 (0) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) 一级近似 𝐻𝐻0𝜓𝜓𝑘𝑘 (1) + 𝐻𝐻′𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) = E𝑘𝑘 (0) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (1) +E𝑘𝑘 (1) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) 二级近似 𝐻𝐻0𝜓𝜓𝑘𝑘 (2) + 𝐻𝐻′𝜓𝜓𝑘𝑘 (1) = E𝑘𝑘 (0) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (2) +E𝑘𝑘 (1) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (1) + E𝑘𝑘 (2) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) 零级近似方程 𝐻𝐻0𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) = E𝑘𝑘 (0) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) 能量本征值：(令U0=0) E𝑘𝑘 (0) = ℏ2𝑘𝑘2 2m + U0 = ℏ2𝑘𝑘2 2m
一级近似 相应的波函数: ikx e 正交归一性 vlow lo dx=(k')=8 k'k 级微扰方程 (1)+H vlo)=e(oy n)+en v(o) 令 wk ψ 代入上式 ∑a4E+=E∑w+E 两边同左乘叫0并利用本征函数正交归一性积分得 (1)(0) +h k aki+e(l) (0)(1) 其中 tk=LEo""ai dx=(kIH'lk>
一级近似 相应的波函数： 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) = 1 𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 正交归一性 � 0 𝐿𝐿 𝜓𝜓𝑘𝑘𝑘 0 ∗ 𝜓𝜓𝑘𝑘 0 dx = 𝑘𝑘′ 𝑘𝑘 = δ𝑘𝑘′k 一级微扰方程 𝐻𝐻0𝜓𝜓𝑘𝑘 (1) + 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝑘𝑘 (0) = E𝑘𝑘 (0) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (1) +E𝑘𝑘 (1) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) 令 𝜓𝜓𝑘𝑘 (1) = � 𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑙𝑙 (1) 𝜓𝜓𝑙𝑙 (0) 代入上式 � 𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑙𝑙 (1) 𝐸𝐸𝑙𝑙 (0) 𝜓𝜓𝑙𝑙 (0) + H′ 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) = 𝐸𝐸𝑘𝑘 (0) � 𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑙𝑙 (1) 𝜓𝜓𝑙𝑙 (0) + 𝐸𝐸𝑘𝑘 (0) 𝜓𝜓𝑘𝑘 (0) 两边同左乘Ψk’ (0)*并利用本征函数正交归一性积分得 𝑎𝑎𝑘𝑘′ (1) 𝐸𝐸𝑘𝑘′ (0) + Hk′k ′ = 𝐸𝐸𝑘𝑘 (0) 𝑎𝑎𝑘𝑘′ (1) + 𝐸𝐸𝑘𝑘 (1) 𝛿𝛿k′k 其中 Hk′k ′ = � 0 𝐿𝐿 𝜓𝜓𝑘𝑘𝑘 0 ∗ 𝐻𝐻′ 𝜓𝜓𝑘𝑘 0 dx = 𝑘𝑘 𝐻𝐻′ 𝑘𝑘
(1)E()+H; k= Ek ak +Ek dk'k 当k’=k时 E=改k÷cL.(o) "hwk dx=(k|Hk) ψk e=lkx mInx Xp e ikxdx= n≠0 或者 Eo)1 L 1 (U-UoeRdx Udx -U 0 即:能量的一级近似为0
𝑎𝑎𝑘𝑘′ 1 𝐸𝐸𝑘𝑘′ 0 + Hk′k ′ = 𝐸𝐸𝑘𝑘 0 𝑎𝑎𝑘𝑘′ 1 + 𝐸𝐸𝑘𝑘 1 𝛿𝛿k′k 当 k’= k 时 E𝑘𝑘 (1) = Hkk ′ = � 0 𝐿𝐿 𝜓𝜓𝑘𝑘 0 ∗ 𝐻𝐻′ 𝜓𝜓𝑘𝑘 0 dx = 𝑘𝑘 𝐻𝐻′ 𝑘𝑘 E𝑘𝑘 (1) = 1 L � 0 𝐿𝐿 𝑒𝑒−ikx � 𝑛𝑛≠0 𝑈𝑈𝑛𝑛 exp i 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎 𝑒𝑒ikxdx = 0 或者 E𝑘𝑘 (1) = 1 L � 0 𝐿𝐿 𝑒𝑒−ikx(U − U0)𝑒𝑒ikxdx = 1 L � 0 𝐿𝐿 Udx − U0 = U� − U0 = 0 即：能量的一级近似为0