3.简正模和格波 微振动理论一一简正模 当振动非常微弱时,原子之间的相互作用可以认为是简谐 的,非简谐的互作用可以忽略。从原子之间的相互作用出 发,在简谐近似下去讨论晶体的本征振动,即简正模。 利用晶格周期性证明晶体中的一个简正模对应一个振幅调 制的平面波,即格波。 简谐近似下,晶体中振动模式是独立的。与原子振动相关 的任意激发,只是这些本征振动的线性叠加。 由于晶体的平移对称性,振动模式的能量不是连续的,而 是分立的
3.1 简正模和格波 一、微振动理论——简正模 当振动非常微弱时，原子之间的相互作用可以认为是简谐 的，非简谐的互作用可以忽略。从原子之间的相互作用出 发，在简谐近似下去讨论晶体的本征振动，即简正模。 利用晶格周期性证明晶体中的一个简正模对应一个振幅调 制的平面波，即格波。 简谐近似下，晶体中振动模式是独立的。与原子振动相关 的任意激发，只是这些本征振动的线性叠加。 由于晶体的平移对称性，振动模式的能量不是连续的，而 是分立的
一设晶体包含N个原子,有3N个自由度 对应3N个偏离平衡位移矢量分量: l1(i=1,2.3N) 引入约化坐标 q 则系统哈密顿量 H=T+(q1,q2…,q3N) S×r(O)+ ∑(an)4+22(an19+高次项 取平衡点势能为零,略去高次项 H=29+229,为一对称实矩阵
设晶体包含N个原子，有3N个自由度 对应3N个偏离平衡位移矢量分量： ( 1, 2...3 ) i ui N = 引入约化坐标： i ii q mu = 则系统哈密顿量 12 3 (, , , ) H T Vq q q = + N 3 2 2 0 1 1 1 (0) ( ) ( ) 2 2 N i i i j i i i j i i j V V q V q q q = q q q ∂ ∂ = ++ + + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑∑ 高次项 取平衡点势能为零，略去高次项 1 1 2 2 2 i ij i j i ij H q qq = + ∑ ∑ λ λi j , 为一对称实矩阵
由系统的拉格朗日L=TV,得到q的共轭动量 OL OH 由正则方程内=1得到3N个耦合方程: i+∑=0,i=1,2,…,3N 要直接求解3N个耦合方程是比较困难的,可以通过正交变换,引 入简正坐标,使得问题简化
由系统的拉格朗日L=T-V，得到qi 的共轭动量 由正则方程 得到3N个耦合方程： 要直接求解 3N 个耦合方程是比较困难的，可以通过正交变换，引 入简正坐标，使得问题简化
引入矢量 q=(q1,q2…,g3N) (q1,g2, T N×3 这里前两项是坐标和动量的列矢量,有3N个矩阵元;而第三项是力 常数矩阵,为3N×3N的方阵 哈密顿量写成矩阵形式: H=qq+-q7入
引入矢量： 这里前两项是坐标和动量的列矢量，有 3N个矩阵元；而第三项是力 常数矩阵，为 3N×3N的方阵 哈密顿量写成矩阵形式：
根据矩阵代数·一个实对称方阵,总能找到一个正交矩阵, 使其对角化:A-入A 2 3N 其中i,w2,…,3N是方矩阵λ的本征值
根据矩阵代数，一个实对称方阵，总能找到一个正交矩阵， 使其对角化： 其中 是方矩阵λ的本征值