(2) 基在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量Ei,82,8n称为 V 的一组基（3）坐标设 Si,S2,,8n 为线性空间 V 的一组基,αEV若 α=ae +a,e, +...+anen, a,az,""anEP则数组 a,α2,an，就称为α在基i,2,",n下的坐标，记为(ai,a2,,an)
在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量 （2）基 1 2 , , , n 称为 V 的一组基； 下的坐标，记为 1 2 ( , , , ). n a a a （3）坐标 设 1 2 , , , n 为线性空间 V 的一组基， V, 则数组 ，就称为 在基 1 2 , , , n 1 2 , , , n a a a 1 1 2 2 1 2 , , , , n n n 若 a a a a a a P
a有时也形式地记作α=(εj,2,,8n)注：向量α 的坐标a,a2,a是被向量α 和基,82,唯一确定的．即向量α 在基1,2，,8n 下的坐标唯一的但是，在不同基下α的坐标一般是不同的
有时也形式地记作 1 2 1 2 ( , , , ) n n a a a 注： 向量 的坐标 1 2 ( , , , )n a a a 是被向量 和基 1 2 , , , n 唯一确定的．即向量 在基 下的坐标唯一的 . 1 2 , , , n 但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
3．线性空间的基与维数的判定定理：若线性空间V中的向量组αi,α2αn满足i)αα2，,αn线性无关;ii)VβeV，β可经 αj,αz,",αn 线性表出则V为n 维线性空间，αi,α2，,αn为V的一组基注：基的定义不容易确定基，但其判定方法易找到基
3. 线性空间的基与维数的判定 定理：若线性空间V中的向量组 1 2 满足 , , , n ⅰ） 1 2 , , , n 线性无关； ⅱ） V, 可经 线性表出 , 1 2 , , , n 则V为n 维线性空间， 1 2 为V的一组基． , , , n 。 注：基的定义不容易确定基，但其判定方法易找到基
证明：由ai,a2，,an线性无关，故v的维数为 n：任取V中 n十1个向量β1,β2,",βn,βn+1由ii），向量组β,β2,,βn,βn+1可用向量组aia2,an线性表出若β,βz,,β,,β+是线性无关的，则n十1≤n，矛盾.故V中任意n十1个向量β,β,,βn,βn+是线性相关的因此V是n 维的，αi,α2,αn 就是V的一组基
证明：由 线性无关，故V的维数 为 n ．任取V中 n＋1个向量 1 2 , , , n a a a 1 2 1 , , , , n n 由ⅱ)，向量组 1 2 1 , , , , n n 可用向量组 1 2 1 , , , , n n 1 2 , , , n a a a 线性表出. 故V中任意n＋1个向量 1 2 1 , , , , n n 是线性相关的． 因此V是n 维的， 1 2 就是V的一组基． , , , n 若 是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾． 1 2 1 , , , , n n
例2 3 维几何空间R3=((x,y,z)x,y,zER)i =(1,0,0),c2 =(0,1,0),&3 =(0,0,1)是R3的一组基:α, =(1,1,1),α2 =(1,1,0),αs =(1,0,0)也是R3的一组基一般地，向量空间p" =((a,a2,.",an)]a, E P,i= 1,2,..,n) 为n维的,8} = (1,0,...,0),82 = (0,1,..., 0),...,8n = (0,..., 0,1)就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基
例2 3 维几何空间R 3＝ {( , , ) , , } x y z x y z R 1 2 3 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 是R 3的一组基； 1 2 3 (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) 也是R 3的一组基． 一般地，向量空间 1 2 {( , , , ) , 1,2, , } n P a a a a P i n n i 为n维的， 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0, ,0,1) n 就是 P n 的一组基．称为P n的标准基