庄5、泰勒中值定理 庄泰勒(yo)中值定理如果函数()在含有x 的某个开区间(a,b)内具有直到n+1)阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为x-x0)的一 个n次多项式与一个余项Rn(x)之和: (r)=f(o)+f(xo_xo)*f"(o)(x-22 f∫ 2 ∵十 0(x-x0)”+Rn(x) n n+1) 其中Rn(x)= (n+1) (x-x0)(在x0与x之间)
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则 当x在(a,b)内 时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的 一 个n次多项式与一个余项R (x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 5、泰勒中值定理 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) 其中 x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n + + − + =
常用函数的麦克劳林公式 2n+1 sInd=u 2n+ 十 十 +0(x 2 3!5 (2n+1)! cosx=1 2n 十 +…+(-1)"七2 +ox 2!4!6! (2n) ln(1+x)=x-n+2-…+(-1)"xm +0(x n+ 1 工工工 =1+x+x2+…+x"+0(x") m(m (1+x)"=1+mx+ 2 2 +(m-1)…(m-n+1)+D(x) 王页
常用函数的麦克劳林公式 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x m x + − − + + + − + = + +
6、导数的应用 上(1)函数单调性的判定法 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在a,b内 可导. 1如果在(a,b)内f(x)>0,那末函数=f(x)在 工工工 Ia,b上单调增加; 2如果在(a,b内∫(x)<0,那末函数=f(x)在 a,b上单调减少 上页
6、导数的应用 定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 在 可 导 设函数 在 上连续，在 内 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = (1) 函数单调性的判定法
(2)函数的极值及其求法 定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x是(a,b内 的一个点, 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 牛+任何点除了点x外/(x)<fx均成立就称 工工工 f(x0)是函数f(x)一个极大值; 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 中任何点x除了点x外,f(x)>f(x均成立就称 f(x)是函数f(x)的一个极小值 上页
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , , ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 内 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x f x a b x a b 定义 (2) 函数的极值及其求法
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值极小值可能大于极大值. 定理(必要条件)设f(x)在点x0处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x0)=0 定义使导数为零的点(即方程f(x)=0的实根叫 午做函数(x驻点 牛驻点和不可导点统称为临界点 上页
设 f (x)在 点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点