例4甲、乙两人投篮,每人投中的概率分别为06,0.7, 今各投三次,求①两人投中次数相同的概率 ②甲投中次数比乙多的概率; ③甲投中次数比乙小一次的概率。 解X表示甲投中的次数,Y表示乙投中的次数, 由题意可得X~b(3,06),Y~b(3,0.7) pn=P{(Xx,Y)=(i,m)}=P{(X=0)∩(Y=j)} 独性P{X=i}·P{Y=j} C0.60.43-.C0.703
机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 甲、乙两人投篮，每人投中的概率分别为 0.6 , 0.7 , 今各投三次，求①两人投中次数相同的概率； ②甲投中次数比乙多的概率； ③甲投中次数比乙小一次的概率。 解 X 表示甲投中的次数， Y 表示乙投中的次数， 由题意可得 X b ~ (3,0.6) , Y b ~ (3,0.7) {( , ) ( , )} {( ) ( )} ij p P X Y i j P X i Y j = = = = = 独立性 P X i P Y j { } { } = = 3 3 3 3 0.6 0.4 0.7 0.3 i i i j j j C C − − =
①P{X=Y}=B0+P1+P2+P3= ②2P{X>Y}=P+P20+P1+P0+P31+P32=? 8P{X+1=}=B1+P2+P23=? 二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)= PiX<x,ysyj=∑∑p 维随机变量 的分布函数为 x≤xy;≤y ∑p x.≤x 其中和式是对一切满足x≤x,y≤y的,求和。 ⑨恩四
机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① 00 11 22 33 P X Y P P P P { } ? = = + + + = ② 10 20 21 30 31 32 P X Y P P P P P P { } ? = + + + + + = ③ 01 12 23 P X Y P P P { 1 } ? + = = + + = (X ,Y) = = x x y y i j i i F(x, y) P{X x,Y y} p , i i x x y y i, j 二维离散型随机变量 的分布函数为 其中和式是对一切满足 的 求和。 一维随机变量 的分布函数为 ( ) i i x x F x p =
二、二维连续型随机变量 定义:设二维随机变量(X,)的分布函数为F(x,y), 若存在f(x,y)≥0,使得对任意实数x,y,总有 F(x,y) f(u, vdu 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,∫(x,y)称为(X,Y)的 概率密度或称为随机变量ⅹ和￥的联合概率密度。 f(x,y)的性质: ①f(x,y)≥0 f(, ydxdy=1
定义： 设二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数为 F x y ( , ) , 若存在 f x y ( , ) 0 , 使得对任意实数 x y, , 总有 ( , ) ( , ) y x F x y f u v dudv − − = 则称 (X ,Y) 为二维连续型随机变量, f x y ( , ) 称为 (X ,Y) 的 概率密度,或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。 二、二维连续型随机变量 ① f x y ( , ) 0 ② f x y dxdy ( , ) 1 + + − − = f (x, y)的性质:
若f(x,在点(x连续,则有0(xy)=(xy) ④P(X,Y)∈G}=「(x,y)ahy,G表示o平面上的区域 落在此区域上的概率相当于以G为底以曲面z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体体积。 注:P(X,Y)=(x,y)}=0,即连续型随机变量在某点的 概率为0
③ 若 f x y ( , ) 在点 ( , ) x y 连续，则有 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y = ④ P X Y x y {( , ) ( , )} 0 = = ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 {( , ) } ( , ) , G P X Y G f x y dxdy = G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面 z f x y = ( , ) 为顶的曲顶柱体体积。 注：
例5设二维随机变量(X,Y)的概率密度 ke 2 y x>0 y >0 f(,y)= 0 其它 试求:(1)常数k的值; (2)分布函数F(x,y) (3)概率P{Y≤X} (4)概率P{X+Y≤1} 解(①)由概率密度的性质 0P+0 k ke dxdy 00-0 0J0 得k=2从而得
例5 设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度 2 , 0 , 0 , ( , ) 0 , . x y ke x y f x y − − = 其它 试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F x y ( , ) ; ⑶ 概率 P Y X { }; ⑷ 概率 P X Y { 1}; + 解 ⑴ 由概率密度的性质 2 0 0 1 ( , ) 2 x y k f x y dxdy ke dxdy + + + + − − − − = = = 得 k = 2 从而得