例1.设(x,Y)的分布函数为 F(x, y)=A(B+arctan (C+arctan 求常数ABC的值及概率P(X≤3y≤4} 解由分布函数的性质 =F(3,4 16 F(+,+∞)=1,F(-∞,+∞)=0,F(+,-∞)=0 A(B+)(C+)=1 A A(B-C+)=0一B A(B+(C-1=0 xπ-2π-2 2
F( , ) 1, + + = F( , ) 0 , − + = F(+ ,−) = 0 (X ,Y) ) 4 )( arctan 3 ( , ) ( arctan y C x F x y = A B + + P X Y { 3, 4}. 例1. 设 的分布函数为 求常数 A B C , , 的值及概率 解 由分布函数的性质 得 ) 1 2 )( 2 ( + + = A B C ) 0 2 )( 2 ( − + = A B C ) 0 2 )( 2 ( + − = A B C 2 1 A = 2 B = 2 C = = F(3, 4) 16 9 =
二维离散型随机变量 定义:若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值(x2y) ij=12,…是有限对或可列无限多对时,则称(X,Y)为 离散型随机变量 PX=x,Y=y}=P/(i,j=1,2,…) 称为二维随机变量(X,Y)的分布律 性质:1)P1202)∑∑P/=1
定义： 若二维随机变量 (X ,Y) 的所有可能取值 ( , ), i j x y i j , 1,2, = 是有限对或可列无限多对时，则称 (X ,Y) 为 离散型随机变量。 一、二维离散型随机变量 P{X = xi ,Y = y j } = pi j (i , j =1, 2 , ) 称为二维随机变量 (X ,Y) 的分布律。 1) 0 i j p 2) 1 1 1 = = i j= 性质： pi j
例2将骰子抛两次,X第一次出现的点数, Y第二次出现的点数,求(X,Y)的分布律。 解 Y 12 4 6 ●●●●●●。● 36 36 P{X=1,y=1}=P{X=1}P{Y=1} 36
例2、将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： X Y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
例3.一袋中有四个球上面分别标有数字1,2,2,3从 袋中任取一球后不放回再从袋中任取一个球以X,Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字,求(X,) 的分布律。 解X,Y可能取值均为1,2,3. 1=P{X=1,Y=1} =P{X=1}P{Y=1X=1}=×0=0 P12=PiY Y=2} 12 P{X=1}P{Y=2X=1}=2 436
例3.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从 袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以 X Y, 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 (X ,Y) 的分布律。 解 X Y, 可能取值均为1,2,3. 11 p P X Y = = = { 1, 1} 12 p P X Y = = = { 1, 2} 1 { 1} { 1| 1} 0 0 4 = = = = = = P X P Y X 1 2 1 { 1} { 2 | 1} 4 3 6 = = = = = = P X P Y X
同理可得 n3=1/4×1/3=1/12,P21=2/4×1/3=1/6 p2=2/4×1/3=1/6,P23=2/4×1/3=1/6 p1=1/4×1/3=1/12,P2=1/4×2/3=1/6 P3=1/4×0=0 所以(X,Y)的分布律为 、F 2 0 1/6 /12 1/61/6 1/6 1/121/6 0
13 p = = 1/ 4 1/ 3 1/12 , 21 p = = 2/ 4 1/ 3 1/ 6 22 p = = 2/ 4 1/ 3 1/ 6 , 23 p = = 2/ 4 1/ 3 1/ 6 同理可得 31 p = = 1/ 4 1/ 3 1/12 , 32 p = = 1/ 4 2/ 3 1/ 6 33 p = = 1/ 4 0 0 . 所以 (X ,Y) 的分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 X 1 2 3 Y