2x x>0,y>0 f(,y) 0,其它 (2)由分布函数的性质 F(x,y) f(u, v)dvd x edv u,x>0,y>0 JoJo 0 others (1-e)(1-e),x>0,y>0 0 others
2 2 , 0 , 0 , ( , ) 0 , . x y e x y f x y − − = 其它 ⑵ 由分布函数的性质 ( , ) ( , ) x y F x y f u v dvdu − − = 2 0 0 2 , 0, 0, 0, . x y u v e dvdu x y others − − = 2 (1 )(1 ), 0, 0, 0, . x y e e x y others − − − − = ( , ) x y x y 0
(3)将(XY,Y)看作平面上随机点的坐标,有 PysX}=P(X,Y)∈G}=∫(x,y)tob G:v≤ 2e 2x- y=x d2e2hx=1/3 (4)P(X+Y<l)=Jf(x,y)drdy = 2ex-ydxdy 1 t y dyl 2ex dx=1-2e +e
: { } {( , ) } ( , ) G y x P Y X P X Y G f x y dxdy = = 2 0 2 1/ 3 x y y dy e dx + + − − = = ⑷ 1 1 2 1 2 0 0 2 1 2 y x y dy e dx e e − − − − − = = − + x y 0 1 1 x y + =1 x y 0 ' G y x = ⑶ 将 (X ,Y) 看作平面上随机点的坐标，有
例6设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 x2+xy,0≤x≤1,0≤y≤2, f(,y) 0 others 试求概率P{X+Y≥1} 解积分区域如右图所示 P(X+Y2}=「1f(x)dhy x+y≥1 x+-rv)ara dx(x+ 0 加。65
例6 设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为 2 1 , 0 1 0 2, ( , ) 3 0, . x xy x y f x y others + = ， 试求概率 PX +Y 1． 解 积分区域如右图所示 1 ( , ) x y f x y dxdy + = P X Y + 1 1 2 2 0 1 ( ) x 3 xy dx x dy − = + 65 72 = x y 0 1 1 x y + =1 2
例7已知(X,Y)的分布函数为 +arctan (+arctan 试求:()(X,)的概率密度f(x,y) (2)P{0≤X≤3} 解()由概率密度的性质知 f(r,v aF(x, y) 12 axyn2(x2+9)y2+16) (2)P0≤X≤3 =P{0≤X≤3,Y<+o}
( 9)( 16) ( , ) 12 ( , ) 2 2 2 2 + + = = x y x y F x y f x y P X {0 3} (X ,Y) 的分布函数为 ) 4 arctan 2 )( 3 arctan 2 ( 1 ( , ) 2 x y F x y = + + f x y ( , ) ; 例7 已知 试求：⑴ (X ,Y) 的概率密度 ⑵ P X {0 3}. 解 ⑴ 由概率密度的性质知 ⑵ = + P X Y {0 3 }
f(x, y)dydx 12 0Jx2(x2+9)(y2+16) 例6已知(X,Y)的概率密度为 f(x,y) Axy2,0<y≤x≤1 0 others (1)求常数的值;(2)求(X,1)的分布函数F(x,y 解()由性质∫∫(xy)=1可得1 AJ d「xy2chy=1→A=15
3 2 2 2 0 12 . ( 9)( 16) 4 dydx x y + − = = + + + − = 3 0 f (x, y)dydx 例6 已知 (X ,Y) 的概率密度为 2 , 0 1, ( , ) 0 , . Axy y x f x y others = ⑴ 求常数A的值；⑵ 求 (X ,Y) 的分布函数 F x y ( , ) . 解 ⑴ 由性质 f x y dxdy ( , ) 1 + + − − = 可得 1 2 0 0 1 15 x A dx xy dy A = = x y 0 G y x = 1