7.证明非空有下界的数集必有下确界。证参考定理2.1.1的证明。8.设S=(刚xEQ并且x2<3)，证明：(1）S没有最大数与最小数；(2）S在Q内没有上确界与下确界。证(1)IeS，>0,<2。取有理数r>0充分小，1Ppp使得r2+4r<3-{2)，于是.2+2r2+4r<3+P即+reS，所以s没有最大数。同理可证s没有最小数。0(2）反证法。设s在Q内有上确界，记supS="（m,neN+且m,n互7质），则显然有0<"<2。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种m可能：<3，由(1)可知存在充分小的有理数r>0，使得("+r）<3,这说明+reS，与supS=矛盾；2>3，取有理数r>0充分小，使得4r-r2<(ii)-3，于是m-r+r>(≤)n-r-4r+r2>3，这说明-r也是s的上mmm界，与supS=n矛盾。所以s没有上确界。m同理可证s没有下确界。11
7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x < ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在Q内没有上确界与下确界。 证 （1） S p q ∀ ∈ ， > 0 p q ，则 3 2 < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ p q ， < 2 p q 。取有理数 充分小， 使得 r > 0 2 2 4 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + < − p q r r ，于是 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + r p q r p q r p q 2 2 2 2 4 3 2 2 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r r p q ， 即 r S p q + ∈ ，所以S 没有最大数。同理可证S 没有最小数。 （2）反证法。设 S 在Q内有上确界，记 m n sup S = （ 且 互 质），则显然有 + m, n ∈ N m, n 0 < < 2 m n 。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种 可能： （i） 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，由（1）可知存在充分小的有理数r > 0，使得 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + r m n ， 这说明 r S m n + ∈ ，与 m n sup S = 矛盾； （ii） 3 2 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4 3 2 2 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < m n r r ，于是 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 r r m n m n r m n 4 3 2 2 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r r m n ，这说明 r m n − 也是 的上 界，与 S m n sup S = 矛盾。所以S 没有上确界。 同理可证S 没有下确界。 11
习题2.2数列极限1.按定义证明下列数列是无穷小量：(n+1)(1)(2) ((-1)"(0.99)");[n?+1]1+2+3+...+n(3)(4)n3n(5)(6)(7)(8)n+22nJn+1nn+12当n>N时，成立0<证（1)V(0<6<2)，取N<6[8]n+1nlg6当n>N时，成立(2) V(0<<1)，取N[Ig0.99Ige[(-1)(0.99)"|<(0.99) g0.99，当n>N时，成立！<号；取N=(3) V(0<<2),取N=En266当n>N,时，成立5"<；则当n>N=max(N,N,)时，成立！+5-6-2(4) (0<<1),取N=当n>N时，成立n+110<1+2++nn32n?nn?6nn?有（5）当n>11时，于是>0，2'C33"(1+2)" 8(n-1)(n-2)h2国取 N = max|11,当n>N时，成立0<634n12
习 题 2.2 数列极限 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ {( ) −1 0 n n ( .99) }； ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； ⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 证 （1）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N ，当n > N 时，成立 < < ε + + < n n n 2 1 1 0 2 。 （2）∀ε (0 < ε < 1) ，取 lg lg 0.99 N ⎡ ε ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，成立 lg lg0.99 ( 1) (0.99) (0.99) n n ε − < = ε 。 （3）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N1 ，当n > N1时，成立 2 1 ε < n ；取 2 5 2 N log ε ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦， 当n > N2 时，成立5−n 2 ε < ；则当n > N = max{N1,N2 }时，成立 1 5 n n ε − + < 。 （4）∀ε (0 < ε < 1) ，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + = + + + < n n n n n 1 2 1 2 1 0 3 2 " 。 （5）当n > 11时，有 2 2 2 n 3 3 3 (1 2) 2 n n n n n C = < + n n n n 1 8( 1)( 2) 6 < − − = 。于是∀ε > 0， 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N max 11, ，当n > N 时，成立 < < < ε n n n 1 3 0 2 。 12
有3"、35当n>5，(6)。于是(0<3)，取512[])n-513″当n>N时，成立0<3N=5+<612n!18元]1的整数部分为m，则有n记"(7)(0<<1)，取22nnNlg-1> lge,+4.当n>N时，有m>于是成立N=2I吃2B）n!On11-（8）首先有不等式0<-1)"V(0<<1) n+22nn+1nn1111取N当n>N时，成立0<+(-1)"n+2n+12n1n62.按定义证明下述极限：2n2-12Vn?+n(1) lim(2) lim=1;m3n+2=3;nn>001(4) lim %/3n +2 =1;(3) lim (n2 +n -n)=n+Vnn是偶数，(5）lim x,=1,其中xn1-10-"n是奇数，1当n>N时，成立证（1）V>0，取N=[]72n2-12160n?3n2+233(3n2 + 2)(2)Vs>0,取N当n>N时，成立2613
（6）当n > 5，有 5 5 5 2 1 3 2 1 5! 3 ! 3 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⋅ n n n n 。于是∀ε (0 < ε < 3)，取 lg 3 5 1 lg 2 N ⎡ ⎤ ε ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥，当n > N 时，成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < ⋅ −5 2 1 3 ! 3 0 n n n 。 （ 7 ） 记 2 n 的整数部分为 m ，则有 m n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < 2 ! 1 。 ∀ε (0 < ε < 1) ， 取 lg 2 4 1 lg 2 N ε ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，有 lg 1 2 1 lg 2 N m ε > − > ，于是成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < m n n n 2 ! 1 0 。 （8）首先有不等式 n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 − + − < + + + < − " 。∀ε (0 < ε < 1) ， 取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 − + − < < ε + + + < − n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 " 。 2. 按定义证明下述极限： ⑴ limn→∞ 2 1 3 2 2 3 2 2 n n − + = ； ⑵ limn→∞ n n n 2 1 + = ； ⑶ limn→∞ ( ) n n n 2 1 2 + − = ； ⑷ limn→∞ 3 2 n n + = 1； ⑸ limn→∞ xn =1,其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − ， ， 是奇数 是偶数 n n n n n x n n 1 10 , , 。 证 （1）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + − = + − 2 2 2 2 1 3(3 2) 7 3 2 3 2 2 1 n n n n 。 （2）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2ε 1 N ，当n > N 时，成立 13
In212nn?+n+n(3）s>0，取N当n>N时，成立88n148n2(Vn? +n +n)?(4）令/3n+2=1+a,，则a,>0，3n+2=(1+a,）">1+Ca,。当n>3时，2(3n+，所以V>0，取N=当n>N时，成立有an<n(n-1)n3/3n+2 -1=a,<<6Jn，当n>N时，若n是偶数，(5) Vε(0<6<1)，取N=max)1则成立x-1=<6；若n是奇数，则成立xn-1=<6Jn103.举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：(1）对任意给定的ε>0，存在N，使当n>N时成立x<8；(2)对任意给定的ε>0，存在无穷多个x,,使「x，1<ε。解（1）例如x,=-n，则(x,)满足条件，但不是无穷小量。n是奇数[n（2）例如x=1则(x，）满足条件，但不是无穷小量。n是偶数，贝n4.设k是一正整数，证明：limx，=α的充分必要条件是limxa+=α。证设limx=a，则>0，N，Vn>N，成立-d<，于是也成立n+-αl<8，所以limXn+=a;设lim+=，则>0，N"，Vn>"，成立x+-a<，取14
< < ε + + − = + n n n n n n n 2 1 1 1 2 2 。 （3）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 8ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + + + − − = n n n n n n n n 8 1 2( ) 2 1 ( ) 2 2 2 。 （4）令 n n 3n + 2 = 1+ a ，则 ， 。当 时， 有 an > 0 2 2 3 2 (1 ) 1 n n n n + = + an > + C a n > 3 n n n n an 3 ( 1) 2(3 1) < − + < ，所以∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 9 ε N ，当n > N 时，成立 + − = < < ε n n an n 3 3 2 1 。 （5）∀ε (0 < ε < 1) ，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε ε 1 , lg 1 max 2 N ，当 时，若 是偶数， 则成立 n > N n − = < ε n xn 1 1 ；若n是奇数，则成立 − = < ε n n x 10 1 1 。 3. 举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： (1) 对任意给定的ε > 0，存在 N ，使当n > N 时成立 xn ； n n < ε (2) 对任意给定的ε > 0，存在无穷多个 x ,使｜ x ｜＜ε。 解 （1）例如 xn = −n ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 （2）例如 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 是偶数 是奇数 n n n n xn 1 ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 4. 设k 是一正整数，证明：limn→∞ xn = a 的充分必要条件是lim 。 n→∞ xn k + = a 证 设lim ，则 n→∞ xn = a ∀ε > 0，∃N ，∀n > N ，成立 x − a < ε n ，于是也成 立 − < ε xn+k a ，所以limn→∞ xn k + = a ； 设 limn→∞ xn k + = a ，则 ∀ε > 0 ， ∃N' ， ∀n > N' ，成立 − < ε xn+k a ，取 14
N=N+k，则n>N，成立x,-α<8，所以limx,=a。5.设lim x2n=lim×2m+1=a，证明：limx,=a。证由lim×n=lim×2m+1=，可知V>0，N，Vn>N，成立|2n-；EN2，Vn>N2，成立2n+I-d<。于是取=max(2N,2N2+1)，Vn>,成立x。6.设x,≥0，且limx,=a≥0,证明：limx=Va。证首先有不等式-ax-。由limx=，可知V>0，N，n>N，成立-a，于是x-an≤/x-a。7.（x,)是无穷小量，（y,)是有界数列，证明(xy,)也是无穷小量。证设对一切n，ly≤M。因为(x)是无穷小量，所以V>0，N，Vn>N，成立x。于是n>N，成立y，所以(xy也是无穷小量。8.利用夹逼法计算极限：.11(1) lim1.22n(2)n+V2V1n+nA(3) lim台派1.3.5.....(2n-1)(4) lim2.4.6....(2n)1元解（1)由1<(1+++<n与lim/n=l，可知23n15
N = N'+k ，则∀n > N ，成立 x − a < ε n ，所以limn→∞ xn = a 。 5. 设lim = ，证明： n→∞ x2n limn→∞ x2 1 n+ = a limn→∞ xn = a 。 证 由lim = ，可知 n→∞ x2n limn→∞ x2 1 n+ = a ∀ε > 0，∃N1， N1 ∀n > ，成立 x − a < ε 2n ； ∃N2，∀n > N2 ，成立 − < ε x2n+1 a 。于是取 N = max{2N1,2N2 +1}， ， 成立 ∀n > N x − a < ε n 。 6. 设 xn ≥ 0，且lim ,证明： n→∞ xn = a ≥ 0 limn→∞ xn = a 。 证 首先有不等式 x − a ≤ x − a 。由limn→∞ xn = a ，可知∀ε > 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N 2 x − a < ε n ，于是 − ≤ − < ε n n n an x a x 。 7. { xn }是无穷小量，{ yn }是有界数列，证明{ xn yn }也是无穷小量。 证 设对一切n， yn ≤ M 。因为{ xn }是无穷小量，所以∀ε > 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N M xn ε < 。于是∀n > N ，成立 < ε n n x y ，所以{ }也是 无穷小量。 xn yn 8. 利用夹逼法计算极限： (1) limn→∞ n n 1 1 3 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +"+ ； (2) limn→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + . + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 1 ； (3) limn→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k ； (4) limn→∞ 135 2 1 246 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ " " ( ) ( ) n n 。 解（1）由 n n n n ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < + + + + 1 1 3 1 2 1 1 1 " 与 lim = 1 →∞ n n n ，可知 15