零件参数设计的数学模型 231 必要的判断语句应尽量提早进行,以减小循次数或计算量.(如:y2应尽量靠近y0,因此 可将偏离y过大的y判断排除,以减少计算次数) (2)数据排除技巧 从粗略的直接搜索法结果可以看出,不同容差等级组合对应的局部最优角相差较大,而 G和G2因为总成本过大,是不可能取到的 4.为进一步比较内最优解的大小,可分别对优化目标在G和G内的最优解附近作探 测性移动(类似于直接搜索方法中的Hoke= Jeeves方法3),进行高精度计算,分别得到 W1=43.14865,W2=42.68475,因此,能够求得具有一定精度的最优解42.14865万元 此时所对应的零件参数为 X=[0.0750.345,0.123,0.115,1.273,12,0.771]r, GT=[B,B, B,C,C,B, BIT y=1.49683,σy=0.06877,W=42.1463万元 五、模型的检验及误差分析 (一)模型的检验 由于我们没有一个确定的标准对本模型的解进行判断检验,只能采取不同的方法,对 结果进行比较 检验模型 在对题目中给定数据的计算结果分析时,我们曾说过,在设计参数时,应尽量使y靠过 ,由此可建立如下模型.在同一容差等级组合下,令y2=y0将xs视为 1.4(2×(25) 0.561k 2.62×1-0.36× 函数,由概率论知识,当yx=y时,若σ3,次废品概率越小,总费用越低,因此,可将目标函 数变为mina,s,ty=1.5,运行最后结果为X=[0.75,0.375,0,075,0.12,0,934,12.8, 0.5625],y2=1.5000,=0.068901;W=42,1949万元比较原模型和检验模型的结 果可知,产品的最低总费用应在42.1~42.2万元之间,而且对应最低总费用的零件参数值 酸合理,这说明原模型的算法是可靠的 另外,网格法和蒙特卡罗方法所求得的最优解也相互吻合,这也说明此结果是值得依赖 对于目标函数本身而言,它虽然不是一个初等函数,却是对于七个自变量的连续函数 自连续函数的介值定理,在全局最优解附近存在一个区域,其内任何一点的值均小于其它鞍 的值,即使这块区域只有整个容许区域的万分之一,在蒙特卡罗方法取二万个点的情况 落入该区域的概率仍接近60%(点与点之间相互独立),在多次运用蒙特卡罗求解的情 下,一般是能够求出全局最优解的,当然,我们并不排除得到的只是局部最优解而非全局 垂优解的可能性
232 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 (二)误差分析 建模误差 根据实际情况分析,可知公式(2)的推导带有一定误差,它实际上舍弃了 Taylor展开时 的七个变量的一阶无穷小量,其依据是二≤0.1,虽然较小,但仍带有一定误差 2.计算机截断误差 计算机在进行求解时字长有限,有一部分数值会被舍弃,但对本模型基本上可忽略 3.受网格法的步长限制不能搜索到准确数值,该误差可能较大,但通过模型求解部分 的探测性移动方法可使该误差减小; 同时,龙贝格数值积分也会有误差,程序中的积分精度为10 六、模型的评价(略 参考文献 ]范大茵陈水华,概率论与数理统计,浙江大学出版社,杭州,1996 [2]肖明耀误差理论与应用,计量出版社,北京,1985 [3]席少霖、赵风治最优化计算方法,上海科学技术出版社,上海,1983 4]徐士良,C常用算法程序集(第二版),清化大学出版社,北京,1996 ,心,·, 数学的重要性的非自明性 作为一种技术的数学科学的作用末被认识到,数学科学作为技术变化以及工业竞争的 推动力的作用的极端重要性也未被认识到。 J G Glimm ed, Mathematical sciences, Technology, and Economic Competitiveness National Academy Press, Washington DC, 1991, p.7
零件的参数设计 中国科技大学何华海李江滔束礼宝 指导教师薛剑耿 编者按本文深入分析了零件参数设计中的优化问题,将其归结为一个有约束的非 线性规划问题,并提出“分两步走”的策略来简化问题,采用了蒙特卡罗方法模拟和线性近 似,计算了总体参数的最优解.从实用角度,文章又引人了一个目标函数,使得整个处理大大 简化.本文对模型的检验也有特色,一方面用拟合优度检验了y是否服从正态分布,另一方面 也对分两步走策略的有效性进行了检验 摘要本文对零件参数设计问题提出了有效的算法,零件参数设计可以归结为在一 定约束条件下求总费用(成本和质量损失的总和)最小的一个非线性规划问题。我们采用分两 步走的策略来简化问题,即首先选定零件参数的标定值,再在此基础上选取零件容差等级 设计的总费用是由y的具体分布所决定的、我们采用了两种方法来计算y的概率分 布:一种是用蒙特卡罗方法来模拟;另一种是将y的经验公式作线性近似,得到y近似服 从正态分布,我们又引入了函数E(y-1.5)2,以此作为新的目标函数对问题进行简化,对 模型的求解,我们采用了梯度法来搜索目标函数在限定区域内的最优解,得到相应的总费 用(单件产品)为430元,远低于原设计方案的3150元 通过检验,我们发现通过线性近似得到y服从正态分布的结论是基本可靠的,分两步 走策略也是合理、有效的.最后我们还讨论了当质量损失函数为连续(特例为抛物线)时的 情形 问题的提出(略) 模型的假设 1.各个零件的参数x1,x2,…,x7是互相独立的正态分布随机变量; 2.标定值在容许范围内都可以取,并且在此范围内y是二阶可导的; 3.产量1000是大数,可以用各种概率上的极限定理 4.所有零件的均方差都是其容差的三分之一; 5.1000个产品中,每个产品都用相同等级的零件 6.假设产品当1.4<y<1.6时为正品,此时无质量损失;当1,2<y≤1.4或1.6≤ <1.8为次品,损失100元;当y≤1.2或y≥1.8时为废品,损失9000元 三、符号约定 x(i=1,2,…,7)零件参数,x=(x1,x2,…,x1), p1(i=1,2,…,7)零件参数的标定值,=(m1,2,…,px) 或可(i=1,2,…,7)零件参数的均方差
234 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 a1,b,(i=1,2,…,7)x;标定值的上下界 产品性能的参数 yy的目标值(yo=1.5), 或产品参数的均方差, y的概率密度函数 g(y)单件产品y偏离y造成的损失, p(2)第i个零件选取容差为时的成本 四、问题的分析 单件产品的费用包括两部分:一是七个零件的总成本,二是由产品性能参数(y)偏离 目标值(y0)而造成的损失.零件的成本是由零件的容差等级决定的;对于大批产品,y偏 离y而造成的损失则由y的具体分布决定,而y的分布又取决于各零件的标定值和容差等 级.因此,原问题归结为在一定约束条件下求某目标函数的最小值的一个非线性规划问 题.这里的目标函数就是零件参数设计的总费用,而约束条件则是各零件标定值的容许范 围和可能的容差等级 由于容差等级和零件参数标定值是结合在一起决定总费用,因此,为求得总费用的最 小值,必须将两者结合起来考虑.由于七个零件容差等级选取总共可以有12×22×3= 108种,使问題变得很复杂.为简便起见,求解这个非线性规划问题时,我们可以分两步来 考虑.首先固定各零件容差等级(对应固定零件参数的方差和成本),选择零件参数标定值 使得损失质量最小;然后在此基础上,固定各零件参数标定值,在所有容差等级选取方法 (共108种)中选取使得成本最小的配置.这种分两布走的方法虽然并不完全等价于原来的 非线性规划,但它却可以使问题大大简化.实际上,这也是工业上采用的零件参数设计的 般方法 我们假设了七个零件参数x(i=1,2,…,7)是互相独立的正态分布随机变量.产品的 性能参数y由这些零件参数所决定,但是由于y的经验公式很复杂,我们无法解析地 y的具体分布,一种处理的方法是采用蒙特卡罗方法,通过计算机模拟来获得y的分布;另 外也可通过对y的经验公式作某种近似(如线性化等),以期能解析地给出y的近似分布 五、模型的建立 1.目标函数 我们的目标函数是总的费用F,它包含两项:质量损失L和零件成本C,即F L +C 对于大批产品的平均质量损失,有L=「+mf(y)g(y)dy,其中f(y)为y的概率密 度函数,g(y)为单件产品参数y偏离y造成的损失函数.我们假设了g(y)呈阶梯状,也 就是说产品当14<y<1.6时为正品,此时无质量损失;当1.2<y≤1.4或1.6≤y <1.8为次品,损失1000元;当y≤1.2或y≥1.8时为废品,损失9000元 f(y)g(y)dy
零件的参数设计三 235 f(y)dy+1000 =9000-8000 f(y)dy-1000.f(y)dy 单个产品的成本C为各个零件的成本总和,C=∑p(1/H1),其中p(;p)第i种零件 容差为(30/1)等级对应的成本(i=1,2,…,7) 我们的目标是使总费用最小,即求解如下非线性规划问题 F= C=F(p1,…,p;a1,…,a) ≤H≤b 3s=1%或5%或10%,i=1,2,…,7. 根据我们前面提出的两步走策略,这个问题可以分解为以下两个子问题: P s, t ≤≤ b,一给定 P2:min F= L+C= F(oi,", 07), %或5%或10% 依次求解P1和P2后,可得到近似的最优解,其中求解P1时给定一组(i=1,2,…,7), 而求解p2时则使用P1给出的一组标定值 2.目标函数的求值 (1)蒙特卡罗方法 如果给定1,…,p7;a1,…,a,则y的分布是一定的但是,由于y的经验公式很复 杂,我们难以给出解析形式.而求目标函数值又必须要用到f(y)的函数值.一种方法是使 用蒙特卡罗法,借助于计算机的伪随机数模拟去近似f(y). 由计算机可直接得到U[0,1],再用舍取法产生标准正态分布N(0,1),由N(0,1)经 过变换即可得到一般正态分布N(p,a2),从而可模拟x1,x2,…,x7这七个两两独立的正 分布的随机变量,每模拟一次,都可根据y的经验公式得到y的一个样本,知道了大量的 的样本,自然很容易求出f(y)来,从而可以得到目标函数值 (2)线性近似 由于每求一次目标函数值都需用蒙特卡罗法模拟y的分布,这样运算量便很大,一种 简单的方法是用解析的形式给出y的近似分布 对y在(1,…,p7)处作泰勒展开,近似到一阶,得到y的近似表达式回派 y(x1…,x7)=y(1,…,m)+ 可见y已被近似为七个零件参数的线性组合由于x1是相互独立的正态分布随机变量,x N(P,a),由概率知识容易知道y是服从均值为py,方差为a2的正态分布随机变量