全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 其中 Ey= y( 7),d2 于是,y的概率密度函数为 y Noy 从而质量损失 L=9000-100084/8 2)-8(12- 二 其中 de 3.新的目标函数 从总费用的表达式可以看出,只要y尽可能地分布于y周围,则可以使P(1.4<y< 1.6)和P(1.2<y<1.8)尽可能地大,从而使总费用最低基于这种考虑,我们提出了一 个新的目标函数:E(y-y)2,并在原有约束下求此目标函数的最小值 Var y+(Ey-yo). 类似于线性模型 Var Ey =f(u) 因此E(y-y0)2=a2+[f(p)-y0)]2,这样问题就转化为在给定约束条件下,求上式的最 小值 六、模型求解 1.子问题P1的求解分 我们的目的是使目标函数L(m1,,p)最小化,这是一个有约束(a≤≤b,i 1,…,7)的非线性规划问题我们使用梯度算法来求得极值并假设在约束范围内有极 值且可由一组初始值求得 所谓梯度法就是逐点确定寻优方向,再通过一维寻优确定步长的求解多维无约束非线 性规划问题的方法 为了使L(p1,…,7)最小,我们列出主要步骤如下 (1)给定一初始值与精度>0,R>0; (2)若1Vg(2()≤c则停止,并求出最小值r=p;否则转(3) (3)由min(g(p-AVg(P()求得,并令P(1)=p()-Vg(r(), =k+1转人(2).的5些 达从
零件的参数设计 237 对子同题的求解给出的极值点就是我们选择的标定值 2.对P1子问题的求解 在选定标定值的基础上,我们从所有可能的容差选择方式(共18种)中选取使总费用 最低的一种(或几种)作为我们的设计的容差等级, 由于零件的容差也影响y的质量,必须综合考虑零件标定值和容差,并一起调整使之 最优。但是若每次都穷举容差的话,会使计算复杂度大大增加可设想先使各零件等级最 低,求出1~p7的一组值,分析相应的效益值,然后删除成本过高的等级,再进行穷举 七、结(果, 使用梯度法,代入初值x1-x7,并遍历零件的各个等级,求出一组局部最优解由于 y的分布是用计算机随机数模拟出来的,所以每次运行结果都不一定相同,目标函数波动 为15. 等级费用 初始值0.1 01011.5160.75B3150 「蒙特卡罗法|009340.3010.0640.01.50160.51B881430 线性近似0.090.3050.0870.104140112.00.60 BBBCCBE435 新日标函数」0.030.3020.0960.1011.5001160.75B0C741 八、模型的检验 1.用正态分布近似y的分布的可行性检验 在线性模型中,我们用正态分布N(2,以)来近似y的分布对此,我们在最优解处作 了拟合优度检验 i)由蒙特卡洛法模拟产生y的N个样本值 ⅱ)把y的可能取值范围分成k(k=14)个区间,并判断样本落在各区间的频数v,(并 更Np;≥5) i)计算统计量z=∑(Np1-a1)2Np,其中p为正态分布N(k2,d3)在第个 间内的理论概率; ,在,, i)拟合优度p(2)=1-x2-1() 通过计算,我们得到p(Z)=0.19,这说明我们用正态分布N(p3,a2)来近似y的实际 布是可靠的 2.模拟的误差 我们用蒙特卡洛法模拟y的分布时使用的样本个数是1000,与成批生产的产量一致 计算机模拟的统计量必然有一定的波动性,我们对同样一组标定值和等级进行多次模 发现目标函数的波动程度在15元左右.因此,我们的模型所给出的精度顶多也只能达 个值 3.参数选择分两步走的有效性 若同时对标定值和容差等级求最优解,则计算复杂度过大,为此我们采用了两步走的 方法:
238 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 第一步使各零件都取最低容差等级,求出各零件标定值的最优解(梯度法);1 第二步固定标定值,求容差等级的最优解(遍历) 作为对比,在线性模型中,我们同时考虑标定值和容差等级,也用梯度法求得极值, 结果为430元,这和分两步走的结果435元非常接近,这说明了我们的分两步策略是十分有 效的 量母料 九、讨论 直, 1.质量损失g(y)的另一种理解 有些产品参数,离目标值越近越好,甚至于突破人为的等级限制,即g(y)随y连续变 化,而不是如假设6所述的阶梯函数一种可能的情况是g(y)=k(y-1.5)2,其中k=105, 此时L=f(y)dy=AE(y-1.5),这正是我们前面提出的第二个目标函数以这种 解释求得的目标函数最优解780 2.局部最优解和全局最优解 我们的模型给出的都是局部的最优解(区域内的极值),这不一定就是目标函数在整个 区域内的最优解.但是,如果多取几个初始值求极值的话,可以尽可能缩小我们的结果与 最优解的差距,甚至达到最优解 3.优缺点分析 (1)线性模型避免了蒙特卡洛法所需的大量模拟,从而提高了运算速度; 路,八 (2)线性模型在一般的情况下也能给出比较理想的结果 (3)分两步走的策略有效地简化了问题,同时也给出了非常接近最优解的结果 (4)我们给出的都是局部的最优解,并不能保证它就是问题的全局最优解 (5)由于进行蒙特卡洛方法模拟的次数有限(1000),这使得我们给出的总费用精度有 限,误差为±15元 参考文献 1]严颖成世学,运筹学随机模型,北京:中国人民大学出版社,195 计形有 2]盛昭瀚、曹忻,最优化方法基本教程南京:东南大学出版社,193 [3]徐士良,C常用算法程序集,北京:清华大学出版社,1994 [4]陈希孺,概率论与数理统计,合肥:中国科技大学出版社,199 的一算具
零件参数设计的动态规划模型代 高的高洁郭去疾康俊海世面 (中国科技大学,合肥230026) 指导教师季识卓 编者按本文按相对误差来定义产品参数y对各零件参数的敏感程度,以此为依据进行空 间裁剪,尽快地在解最可能出现的区域中搜索到满意的解文中关于次品率的讨论,以及利用y 的矩来对结果进行优度评估,也很有特色 摘要对于本零件参数设计问题我们建立一个动态规划模型,分阶段以不同的目标搜 索求优,在每阶段中,必须以继承和保持前面已获得的目标做为约束条件,在实施动态规划前, 根据题设经验公式,先把零件参数根据敏感性进行分类,对零件参数的取值空间作裁剪,把求优 空间充分缩小 假设各零件参数独立正态分布,对求优空间中的每组候选值,随机模拟出性能参数y的概 率密度函数从而确定它是否满足阶段目标和最终目标 编制程序实现算法后,我们得到了四百多组满意的设计方案,并给出一组推荐方案.其总费 用为421元/台,求得原设计方案的总费用为3202元/台,费用降低为2781 当零件参数的分布函数未知时,我们利用矩的方法重建产品性能参数y的分布函数,从而 可以利用我们的动态规划的模型进行参数设计我们对模型进行总结,给出了零件设计的一般 方法最后我们对模型和算法进行了进一步的讨论,并给厂家提出了一些实用的建议 、问题的提出(略) 当,原法 二、合理的假设 1.产品参数y与零件参数的关系只由题中所给的经验公式决定,与其他因素无关 2.对同一种零件,在标定值范围内其成本只由容差等级所决定,与标定值的大小无关 3.零件的标定值在其允许范围内可连续变化,不考虑有分立的国标值的情况 4.各个零件的标定值和容差相互独立,三 5.零件的参数是随机变量,满足正态分布,标定值是其数学期望 6.在生产单件产品的过程中,每种零件只用了一个 的( 7.按照工业生产的惯例,假设y偏离目标值造成的损失是阶梯性的,即y的偏离值小于 0.1时损失为0,y的偏离值在0.1和0.3之间损失为1000元,y的偏离值大于0.3时损失为 0000元 符号说明 7:对产品性能有影响的零件种类,n=7;x:第;个零件的参数,=1,2,…,n; F:生产离子分离器的总费用;N:生产粒子分离器的总数目; C:零件总成本;L:y偏离所带来的总损失L; L1,L2:产品分别为次品和废品时带来的损失;P1,P2:产品分别为次品和废品的几率; q产品性能对零件参数的敏感系数即全系数;a,y第i个零件和y的均方差