全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 其中D,L为某一常数值.于是 /D+Lr2 这就说明a对单个相对系数有良好的稳定性以下给出了A,B,C三个等次相对偏差系数 分别对最优解的影响关系曲线 系列2 曲 350000 300000 优解对和对零件参数的敏感性曲线图 注系列1曲线对应C等,系列2对应B等,横坐标4处为最优值点描点步长为各等 级最大相对系数的0即依次为1%,0.5%,0.1 图形表明改变相对系数在最优值点对结果影响不大例如把B等以5%为标准改为以 5.5%或4.5%为标准,其它保持不变,可以看出最优目标值变化很小同理A等标准从1% 改为0.9%或1.1%,目标值几乎不变,C等标准不变引起目标值不变稍微大些,但这也在情 理之中.因为相对系数处于越大值,传递的误差也越大 八、模型的特点、改进、推广及实际工艺操作会阶 在该模型的建立过程中,我们用了概率论和误差传递的知识,简洁地对实际问题构造了 一种数学模型该模型可以用于一般的零件设计,其给出的目标函数也可以用于通常的产品 生产中以估算成本.在建模的过程中,我们充分发挥了计算机的功能,行之有效地获得了几 组局部最优解我们还针对求解灵活地调整程序,从而大大提高了程序运行的效率,并获得 了更优的解但是或许由于模型自身的问题,或许由于非线性规划的现行解法的问题,我们 所得的只能是局部最优解并且由于过多的依赖计算机的运算能力,对该模型的数学内涵也 讨论偏少.同时,该搜索方法随着问题所要求的精度的提高,计算时间上将成灾难性的增长 对于该模型的改进,今后可以对函数作一些性质上的分析,以减少搜索的范围在搜索 方法上,可以采用最优速降法,以加快搜索速度,还可以采用遗传算法对染色体的基因组采 用浮点编码,通过繁殖交叉从而在大量解空间内很快地接近全局最优解.如果不考虑工艺加 工上的限制,由于函数的连续性,这样的基因编码方式是可行的 在实际问题中,考虑的因素将更多,模型将相当复杂譬如零件标定值的改变可能造成 产品不能装配,这样零件间就不是独立相关的了,还可能在实际生产中,该产品的质量要求 远远大于其价格因素(如开发新产品的过程中),那么目标函数可变为 min:g(x)=weight N2C+N(1000 P2+9000p
客件的参数设计 227 其中 weight表示产品质量对产品价值影响的重要性 weight越小产品质量越重要, weight大 产品质量不太重要也有可能要增加个零件这样有两种调整方案,一种是对全局的零件 都进行调整,另一种就针对新加零件进行调整如果考虑算法的效率、工艺操作的简捷性以 及人事诸多方面的因素,似乎还是第二种更为合理些在这种方案下,如果不使用计算机,考 虑到使F(X)接近y0对目标值产生的影响远大于选等级的影响,可以采用如下方法调整: 首先选用该零件的最劣等级,然后采用类似搜索的方法来试生产,步长可以适当拉大 些,直到达到一个优值的生产点.最后,调整该产品的等级,再次在这个标定值下进行试生 产.一般地,每批试生产的产品不需要太多,有3-50个左右,就可以使产品很好地符合正 态分布,满足其内在的数学规律如果在标定值范围内共有2m+1个生产点的话,至多试生 产50(m+4)个产品就可以得到一个尚可的生产点了,对于m=3时,可以采取如图的试生 产步骤: 是, m=3时的操作步骤(共7次) 对于需要全局调整的方案,这种操作合理但不经济建议采用计算机求解 参考文献 1]符曦著,系统最优化及控制 2]詹姆斯恩一西多著,最优工程设计一原理及应用 [3]陈立周等著,工程离散变量优化设计方法一原理及应用,复旦大学出版,上海 4]概率论,机械工业出版社 5]魏权龄等著,数学规划与优化设计,国防工业出版社 从认识论的观点来看,人们应该给数学科学以无上的地位。 正是数学的厂泛用途,使它实质上成为基础的科学。 勒雷 《当代数学大师》,李心灿编,航空工业出版社,1994。 的
零件参数设计的数学模型 黄呆陈旭东邵伟 (浙江大学,杭州310027) 指导教师数模组 编者按本文先将粒子分离器参数y进行局部线性化处理,并将化归为标准正态,其中 G=∑(ax2),最后把总费用的目标函数归纳为一个标准正态的式子(文中(4)式)以上结 果合理、简洁明确采用网格法及蒙特卡罗法分别计算,结果吻合、满意,得到的解较优,其中用 蒙特卡罗法(取二万个点)计算,在维数不变的情况下,不失为一种快速而有效的算法 摘要本文建立了一个关于零件参数设计的数学模型本文首先利用概率的理论,假设 各零件产品的参数服务从正态分布,推出粒子分离器某参数(y)偏差的分布函数,进而可得 批产品总费用的目标函数,运用龙贝格数值积分将其转化为计算机可求值的函数,然后运用网 格搜索法和蒙特卡罗法求出目标函数的全局最优解 本文将两种方法的结果精度、算法复杂度等进行比较,重点讨论了效果较好的蒙特卡罗法 本文最后分析了模型误差,并对模型进行了评价和推广 本模型最终得出产品总费用为42.146万元/千件,其设定的零件参数为x[0.075,0.375, 0.1230.115,1.273,12,0.771],其容差等级为GT=[B,B,B,C,C,B,B]T 、问题的分析 要求解的问题是使总费用最低,而总费用包括各零件成本及次、废品损失费,综合考虑 两种因素,问题可归纳为总费用的非线性优化问题 由于待优化的目标函数复杂,无法利用其解析性质求最优解,故可考虑用直接全局搜索 法或随机试验点法 从生产实际考虑,本问题对解的精确度要求很高,但是对求解算法的实时性无明确要 求我们认为,只要求解时间不是太长,都是可接受的 二、模型的假设及说明 1.假设各零件参数服从参数为A;,2的正态分布,且不同零件的参数相互独立 2.假设各零件容差的等级与其标定值的比为定值,分别为:A级±1%,B级±5%,C 级±10% 说明根据概率论知识和工程实际生产的一些测量数据可知,成批生产的零件的参数 服从参数为H,的正态分布,其中p为各零件参数的期望值(标定值),1为均方差(即容 差的1/3),可推知各零件的偏差△x1服从参数为0,c1的正态分布 、文中用到符号及说明 产品某参数 x1:各零件参数 y:y的目标值(y0=1.5) 各零件参数的标定值
零件参数设计的数学模型 229 yx:→各零件标定值确定 各零件成本 的零件参数 △y:产品的参数的偏差 各零件容差等级比 △x;:各件零件参数偏差 x标定值向量(=1,2,…,7)p1:各零件参数均方差 X():x的取值空间 p1:次品概率 Gr:等级取值向量 p2:废品概率 an:产品参数的均方差 四、模型的建立和求解 本模型的建立基于概率论与误差的有关理论 各零件偏差△x相对于其标定值较小,y在y附近可以表示为: dr 由于△x较小,则可得dx≈△x,由于△y=y-y2,则 y=∑22,△r 在此,我们不加证明地引入: 引理1x服从参数为,a的正态分布,且彼此相互独立,a为不全为零的常数,若X 则 X-N(∑an,∑aa) 根据公式(3)对应一组x为一定值,而与△x无关,则由引理1可得 △y-N0,)、(么∑(B2,) (以上结论也可由方差合成定理推得,见文献[2]p93) 由概率论知识可得 N(0,1) 目标函数的建立 产品总费用=零件总成本+次品的损失费+废品损失费 即W=∑C+1000p1+900 可得 C2+900+1000×4 1.4 W 1.6-y 8000× 13.2)o(2,2) (4) 目标函数为 W
230 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 )对于原设计数据的求解 在 Mathematics2.1下运行,代入数据Xr=[0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75],G= [B,C,C,C,C,B]可得结果如下 y=1.7259,p1=0.6240,p2=0.2505,W=307.85万元 从结果可以看出,P1+p2=0.8745,即产品大部分为次废品,这是y偏离y过大的结 果,此时产品总费用主要由次废品损失费决定,由此可知,在进行参数设计时,应尽量先使 y2靠近y,同时降低均方差这也是本模型降低算法复杂度的一个方向 (二)对目标函数minw的求解及参数的重新设计 1.将目标函数转化为计算机的可求解模型 由于原目标函数中的积分部分中被积函数为正态分布函数,且其积分限为含有7维变 量的复杂函数,无法直接求解,所以需将其转化为计算机可求解模型,我们考虑用二种方法 进行转化 对于标准正态分布函数可采用最小二乘拟合法逼近将其转化为多项式表达,但从其结 果来看,误差较大,故不可取所以我们采用精度较高的龙贝格数值积分法来转化目标函 数4.此方法为本模型高精度求解的出发点 2.用直接搜索法求最优解(网格法) 原目标函数为7维多峰函数,无法用解析法精确求解,故考虑用直接搜索法,常用的算 法对于一般的多峰函数极值问题只能求出局部最优解,而网格法为求解多峰函数全局最优 解的一种较适宜的方法,所以我们首先考虑用网格法求解最优目标 我们对于每一个x在其取值范围内均取6个步长,分为6个网格,结合可能的容差等 级组合,在 Pentium120计算机上运行,搜索约二十分钟后,得到一个最优解,结果是Xr= 013450.1501527510.7875G7=[B,B,B,C,C,B,B],yx 1.497145,ay=0.069220,a=42.49146万元.从结果可以看出,在一定精度内已求得一个 较好的最优解,我们可以通过降低算法复杂度,使模型得到更好的应用 但是根据网格法基本原理,其循环次数由步长所决定,而步长又由模型精度所决定,故 在一定精度要求下,其算法复杂度不能大幅度降低我们可考虑采用蒙特卡罗法进行求解 3.蒙特卡罗法 蒙特卡罗法,也就是随机实验点法它的基本思想是:在函数的可行域内随机地选取实 验点,由于随机取得的点在区域中分配比较均匀,所以对函数的大致形态能较好地体现3 模型中的随机点是用以下方法产生的 设m=216,r0=5,由选代式可得(0,1)间的p r;=mod(2053r-1+13849;m),i=1,2 Pi= ri/m p为第i个随机数 设q为a到b间的随机数,则q=a+(b-a)p1我们编制了蒙特卡罗算法的程序(略)程 序的运行时间为2分钟,最终的计算结果为XT=[0.0778,0.374,0,.0979,0.1067,1.200, 12,320.6361,G=[B,B,B,C,C,B,B17;y1=1.49936,,=0.069125;w= 42.3174万元为了降低蒙特卡罗法网格法的复杂度,采用了一些优化的方法 (1)程序的优化