银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第九章 重积分

银川科技职业学院《高慈数学》教未 第九章重积分 注：积分还可以写成∬o=x, 解法2.也可把D看成是Y-一型区域：1≤<2，x<2.于是 川a=可w==2y-登-b2-女-g 例2.计算川W+x2-y严do,其中D是由直线=1、=-1及=x所围成的 闭区域 解画出区域D,可把D看成是X--型区域：-1≤≤1，x≤1.于是 川i+2-严do=4+x-yP -3I0+x2-y2=-0-1a =-6e-=3 也可D看成是Y-型区域：-1≤s1,-1≤y.于是 ∬1+-do=d+2-k. 例3计算川xdo，其中D是由直线=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域。 解积分区域可以表示为D=D+D2, 其中D:0≤x≤1，-√≤y≤F;D2:1≤x≤4,2≤y≤.于是 ∬o=aw+4w 积分区域也可以表示为D:-1≤<2，y≤x≤42.于是 川o=9=号y2=b0+2- =片++22-名=58 讨论积分次序的选择. 例4求两个底圆半径都等于p的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=p2及x2+2=p2. 利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积，然后 第6页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第九章 重积分 第 6 页 注 积分还可以写成        2 1 1 2 1 1 x x D xyd dx xydy xdx ydy  解法 2 也可把 D 看成是 Y型区域 1y2 yx2  于是     2 1 2 [ ] y D xyd xydx dy       2 1 3 2 1 2 2 ) 2 ] (2 2 [ dy y dy y x y y 8 9 ] 8 [ 2 1 4 2    y y  例 2 计算 y x y d D    2 2 1  其中 D 是由直线 y1、x1 及 yx 所围成的 闭区域 解 画出区域 D 可把 D 看成是 X型区域 1x1 xy1 于是          1 2 2 1 1 2 2 1 1 x D y x y d dx y x y dy          1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 (| | 1) 3 1 [(1 ) ] 3 1 x y dx x dx x 2 1 ( 1) 3 2 1 0 3     x dx  也可 D 看成是 Y型区域：1y1 1x<y  于是           1 1 1 2 2 2 2 1 1 y D y x y d ydy x y dx  例 3 计算 xyd D   其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y 2 x所围成的闭区域 解 积分区域可以表示为 DD1+D2 其中 D : 0 x1,  x  y  x 1  D : 1 x4, 2 y  x 2  于是          4 1 2 1 0 x x x x D xyd dx xydy dx xydy  积分区域也可以表示为 D 1y2 y 2 xy2 于是       2 1 2 2 y y D xyd dy xydx    2 1 2 2 ] 2 2 [ y dy x y y     2 1 2 5 [ ( 2) ] 2 1 y y y dy 8 5 ] 5 6 2 3 4 4 [ 2 1 2 1 6 3 2 4       y y y y  讨论积分次序的选择 例 4 求两个底圆半径都等于  的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x 2 y 2  2 及 x 2 z 2  2  利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后

银川科技职业学院《高签数学》教集 第九章重积分 再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D={x,y0ss√R2-x2,0≤≤p为底，以=√R2-x2顶的曲 顶柱体于是 r-R-a加=8h于R-小-8R-在 =8(R2-xr2=1R3 3 二 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便， 且被积函数用极坐标变量p、日表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极 坐标来计算二重积分川fx,o. 按二重积分的定义∬fx,1o=m∑f传，)△o D 1→01 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式。 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区 域D分为n个小闭区域，小闭区域的面积为： Ao.-3(P+AP)-A0-TPi-A0=JQ2p+AP)p 60 -Bt(etAPD.APA0 =PAPAO 2 其中刀表示相邻两圆弧的半径的平均值。 在△o内取点(p,可)，设其直角坐标为5,7)， 则有5=p,cos日，=p,sn0. 于是m2fG,m4a,=m之fp.cos0,可sn可0n,Apa0, 即 f(x.ya=Sjf(pcos0.psi0)pdpd0 D D 若积分区域D可表示为 p(≤ps02(), Kkβ， 则 1rocas0.psn0aNai0-a0fesa,psn0nh. 讨论：如何确定积分限？ 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第九章 重积分 第 7 页 再乘以 8 就行了 第一卦限部分是以D{(x y)| 0y 2 2 R x , 0x}为底 以 2 2 z R x 顶的曲 顶柱体 于是 V R x d D    2 2 8      R R x dx R x dy 0 0 2 2 2 2 8     R R x R x y dx 0 0 2 2 2 2 8 [ ] 3 0 2 2 3 16 8 (R x )dx R R      二 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分 积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量  、 表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极 坐标来计算二重积分 f x y d D  ( , )  按二重积分的定义 i n i i i D f x y d f           1 0 ( , ) lim ( , )  下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点 O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区 域 D 分为 n 个小闭区域 小闭区域的面积为  i i i i i i        2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i  (2  )  2 1 i i i i i           2 ( )  iii  其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值 在i 内取点 ( , ) i i  设其直角坐标为( i   i) 则有 i i i  cos  i i i  sin  于是 i i n i i i i i i i n i i i f    f                    1 0 1 0 lim ( , ) lim ( cos , sin )  即 f x y d f     dd D D ( , ) ( cos , sin )     若积分区域 D 可表示为  1() 2()  则                     f d d d f d D     ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin ) ( cos , sin )  讨论如何确定积分限?