(1+x) (1+p)l lim 四1+(p)x+0x) 故当P一2>1即p>2时级数∑收 2601 √n! (2+√1)(2+√2)…(2+√n) 解 n_2+√n+ 由于 n+1 aa 2+√#十 Imn -l=limn 1 n+1 敞级数∑ 2+√)(2+√2…(2+√n)收敛 2602 nin q(q+1)…(+)(>0,q>0), 解 十 1+ 由于 im升、an+1 1+ 1 1+x)(1+, 1 =lm 户十q 故当户+9>1时,级数∑ 丌!n-P 日q(q+1)…(q+n)收
2603.∑P+1+n=1·1(p>0,q>0) 解 11+ p+n由于 142)*+<1+1yp+ + in li 1+px q+1-p, I-O 故当q+1-p>1即q>p时,级数 十1)…十n-1),1 收敛 2504. Zn 6…(2 解a,-(21+2+ 由于 limn =limn((2n+2)n+i 2+2x1P =lim-12+x/(1+x)-1 0 =q+ 故当q+>1时级数∑((21}1) 收敛 2605 ∑共(1-am)(>0) 解令 刘n 由于lim xnn=0故当n充 33
分大时,an>0 当x=0时级数为∑,它当P>1时收敛而当p ≤1时发散,当x≠0时,我们有 rann In(a,+a)=xInn+nIn( 1 n+ln(1一Bn)=nl2 +in(-u) 其中4n=2,n≠0(n>1),u→0,n2→0(n→ ∞).由洛比塔法则,可得 lim satIn(1-u.) =lim v+In(1-v) v一0 0 02(-1) 故有 limIn(anPx)=0或lim 由此可知级数∑a与∑有相同的敛散性故当 p+x>1时级数∑a收敛而当户+x≤1时发散 综上所述级数∑a仅当x>1一p时收敛 2606.证明:若an>0(n=1,2…)且 p 34
则 (E>0) 证下面记an,dn,Bn,P"n,P"n,为无穷小量,即an= o(1 o(1),B2=0(1),P.=o(1),P=0(1) 由题设知,当n∞时有 1 取对数即得 =ln1+ ⊥ r 2++叫()=(p+a 令n=1,2,…,N-1并求和则得 Ina, -Inan= 1 p+a,) 由143题在其中令x=2n,y=∑知 又由146题知 1 C+ln(N-1)+6 其中C是尤拉常数,N→0.于是,令 (写/ 有 lnat-lnaN=(p十BN) 1 (P+BN)CC+in(N-1)tENJ 35
(十)n(N-1)+k+PN, 其中k=C为常数.于是 Inan=-(p+BN)In(N-1)+k-pN 其中k=lna1-k为常数,从而 aM N·N-1)-(+) N N NN·NP 其中P=-Bx.由于pN=o(1),故对于任给的e>0, 当N充分大时,有|P|<亏,从而N<N.再注意 到 N-11-(+ im 即知:当N充分大时,有 0<aN≤k"·N·N=0 N 其中k是常数.于是,得 本题获证 求出通项an的减小的阶,从而研究级数∑a的收敛 性,设 2607. nP+a1np-1+… +6n b 其中n9+b1n1+…+b>0 解由于a01(),当q-P>1即9>1+p 时,级数收敛 36