2608 =-sIn 解由于a≥0,且 sIn n或a=O”(n, 故仅当1+p>1即p>0时,级数收敛 2609an=(√n+1-√n)h-1, n+1(x>1) 解由于a<0,且 O √n+1+ n+1 + 故仅当+1>1即p>0时级数收敛 2610. a.=In(sec - 解由于an>0(n>2时),且 In|1+tg O 故仅当2p>1即p>时,级数收敛 2611.a=1g1+ (a>0,b>0) 解显然b≠1(否则an无意义)由于 1 Inb 故级数收敛 37
2612 解1+ 0() +0*() 由于an>0,且 c(1-c-去+o·(2 e 十O 故仅当p>1时,级数收敛 2613.an k 解由于 n=n-(+ e e 故级数显然发散 2614. 解由于 故级数发散 1 2615证明若有a>0使当n≥n时≥1+a nn
InIon) 由洛比塔法则知 lnn Inn (nInr) 211 InIn m lm →十∞ x++∞in f++ooInx0 故im=1m=0,从而存在m,使当n≥n时,有 1 n2<1,利用2615题的结论,即知级数发散 利用哥西积分判别法,研究具如下通项的级数的收敛 性 2619.an-列nn 解由于不论P为何数当x充分大时,函数-,都 是非负递减的,并且 ds 1-p)ln-xl2 力≠1; 2 户=1 仅当>1时收敛,故级数仅当p>1时收敛 2620.a (Inn )(nln)(n>2) 解易知函数f(x)=x(nx)(m/不论b,为何 实数)的导函数当x充分大时是负的,故当x充分大 时,f(x)是非负递减函数。 若=1,则 3 Inx(inIn)? 40
(1-q)(InInr) Inlnlnx 当q>1时收敛q≤1时发散,故由哥西积分判别法知, 原级数当p=1,q>1时收,力=1q≤1时发散 若p≠1,作代换Inx=t,有 3 a(Inx) (lnInx)J In3 tr(Int) 当p>1时,取>0使p-7>1,由于(不论q为何实 数) →+∞ t(Int )o 4-+ot'(Int) 故积分 In3 t(Int)) 收敛,从而原级数收敛;当p<1 时,取τ>0使p+<1.由于 lit lim + t(lnt)s (Int) 故积分 t 发散,从而原级数发散 综上所述,可知原级数仅当P=1g>1及p>1,q任意 时收敛 2621.研究级数 的收敛性 解由于 In(n1) Ink nInn 故 41
1)> 利用2619题中p=1的结果知级数∑元n发散,故 级数 也发散 2622证明:设正项级数∑a的项单调减小则级数∑a与 级数∑2a同时收敛或同时发散 证设S=a1+a2+…十a2,则因 2>42, >0 故得 0<s2<a1+(ax+a3)+…+(ax+…+a?+-1)<a 2a2+…+2a2, 且有 S=a1+a2+(a3+a4)+…+(a2-1+1+…+a2) >241+a2+2a4+…+2la =(a1+2a2+22a2+…+2ax)>0 (2) 由(1)式得知:若∑2a收敛则∑a也收敛;由(2) 式得知若∑2a发散则∑a也发散由此本题获 证 注意,在此命题中,用作比较的级数 ∑2a 42