EI青米多维奇 数学分析习题集题解 (四) 费定晖周学圣编廣 郭大钩邳品琮主审 山东科学技术出版社
目 录 第五章级数…………………………………1 §1.数项级数，同号级数收敛性的判别法………1 82.变号级数收敏性的判别法 …………………70 83.级数的运算 ………… 119 4.函数项级数 ……………131 §5.幕级数………………… 216 §6.福里叶级数 333 87.级数求和法 388 §8.利用级数求定积分之值 ……439 9.无穷乘积 ……………451 §10.斯特林格公式………………………………507 §11.用多项式逼近连续函数………………… 511
第五章级数 §1.数项级数同号级数收敛性 的判别法 12,般概念对于数项级效 +a2+…+a+…=∑ 若 imS=S(级数的和 存在,式中S=a1+a2+…十a则称级数(1)为收敏的,反之,则称级 数(1)为发傲的 2于西准则级数(1)收敛的充分且必要的条件为对于任何的e> 0,都存在有数N=N(e),使得当n>N和p>0时,不等式 s,--1|a 成立 特别是,若级数收敛,则 lima,=0. 3°比较判别法I,设除级数(1)外,还有级数 b1+b2+…+b+ (2) 若当n≥n不等式 ≤b 成立,则1)从级数(2)收敛可推得级数(1)收做;2)从级数(1)发散可推 得级数(2)发敬
待别是,当n→∞若an~bn则正项级数(1)和(2)同时收敛或同时 发散 4°比较判别法I.设 O 则(a)当P>1时级数(1)收敛,()当p≤1时级数(1)发散 5达朗伯耳判别法若an>0(n=12,…)及 inman 则(a)当q<1时级数(1)收敛,(6)当q>1时级数(1)发散。 6°哥西判别法若an≥0(n=1,2,…)及 则(a)当<1时级数(1)收斂,(6)当q>1时级数(1)发散。 7拉阿伯判别法若an>0(n=1,2,…)及 limn(-1)=p, 则〔a)当φ>1时级数(1)收敛,(6)当p<1时级数(1)发散。 8°高斯判别法若an>0(n=12…)及 =k+2+ a + 式中||<C而c>0则(a)当>1时级数(1)收敛,(6)当A<1时级数 (1)发散;(B)当A=1时,若p>1则级数(1)收敛;若K≤1则级数(1)发 散 9°哥西积分的判别法若f(x)(x>0)是非负的不增函数,则级数 (n) ①记号O·的意义参阅第一章§6,1°
与积分 f(x)dx 同时收敛或同时发散。 直接证明下列级数的收敛性并求它们的和 2546.1-1+ 2+48 …十 解由于 11_1 2 1 故得 nS= 即所给级数收敛,且其和为2(以下有关各题省略这两 句话) 2547 1 +3)+(2+32|+…+(2+3+ 解由于 S-(2+13)+(2+2+…+(录+副) +22+…+}+++… 1 2 故得 s=lims.=i 1