§4.5曲线的凹性与拐点 函数f(x)的单调性与极值是函数的重要性态如图: 曲线弧AB是单增的曲线.但从4到C的曲线是向下弯 (或凸)的;从C到B的曲线是向上弯(或凹)的.显然,曲线 的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性 态是十分重要的这就是下面讨论的凹性与拐点
1 函数ƒ(x)的单调性与极值是函数的重要性态.如图: 曲线弧AB是单增的曲线. 但从A到C的曲线是向下弯 (或凸)的; 从C到B的曲线是向上弯(或凹)的. 显然, 曲线 的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性 态是十分重要的. 这就是下面讨论的凹性与拐点. §4.5 曲线的凹性与拐点 B A • C
曲线的凹性 定义1设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.若 该函数曲线在(a,b)内总是位于其上任意一点 的切线上方,则称该曲线在(a,b)内是上凹的; 区间(a,b)为该曲线的上凹区间 y=f(r)
2 定义1 设函数 y = ƒ(x)在区间(a , b)内可导. 若 该函数曲线在(a, b)内总是位于其上任意一点 的切线上方, 则称该曲线在 (a, b)内是上凹的; 区间(a, b)为该曲线的上凹区间. o x y y =ƒ(x) 一.曲线的凹性
若该函数曲线在(a,b内总是位于 其上任意一点的切线下方,则称该曲线 在(a,b内是下凹的;区间a,b为该 曲线的下凹区间 人们常将曲线所具有的上凹或下凹的性质称为曲线 的凹性定义1的等价定义为 定义1′若曲线y=f(x)在区间(a,b)内连续, x1≠x2∈(a,b),均有f( )>(或<)[f(x1)+f(x2 则称曲线在该区间内是下(上凹的
3 若该函数曲线在(a , b)内总是位于 其上任意一点的切线下方, 则称该曲线 在(a , b)内是下凹的; 区间(a , b)为该 曲线的下凹区间. 人们常将曲线所具有的上凹或下凹的性质称为曲线 的凹性. 定义1的等价定义为 o x y y=ƒ(x) 定义 1 若曲线y = ƒ(x)在区间(a, b)内连续, 1 2 1 2 1 2 1 ( , ), ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 2 x x x x a b f f x f x + + 均有 或 则称曲线在该区间内是下 (上)凹的
y=f(x) 不B B cU(x)+f(r) f(x)+f(x2) x,+x B 显然用定义来判别曲线的凹性是极不方 便的.由定义1知下凹曲线从点A移到点B时, 对应的切线斜率∫(x)单调减少的 B 而上凹曲线从点4移到点B时,对应的切线斜率 ∫(x)单调增加的.从而当∫"(x)存在时,则可用 阶导数的符号来判别曲线的凹性
4 o x y • • A B o x y A • B • 1 x 1 x2 x 2 x 1 2 2 x x + 1 2 1 [ ( ) ( )] 2 f x f x + 1 2 2 x x + 1 2 1 [ ( ) ( )] 2 f x f x + 显然用定义来判别曲线的凹性是极不方 便的. 由定义1知下凹曲线从点 A移到点 B 时, 对应的切线斜率 单调减少的. A A B B f x ( ) f x ( ) 而上凹曲线从点A移到点B时, 对应的切线斜率 单调增加的. 从而当 存在时, 则可用 二阶导数的符号来判别曲线的凹性. f x ( ) y = ƒ(x) y = ƒ(x)
定理11设函数y=f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数,则 (1)x∈(a,b)均有f(x)>0曲◆y=f(x)在(a,b)◆是上凹的 (2)∨x∈(a,b)均有∫”(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是下凹的 (元,f(x) ?分析:只需证明f(x)-y>0即可 xo, f(ro)) ◆∷x∈(a,b),∫(x)存在,∫"(x)存在 曲线y=f(x)上任意一点(x(x)的切线方程为5xb y=f(x)+f(x0)(x-x0) 设(,f(x)为曲线上的另一个任意点,则 由f(x)在x与之间满足拉格朗日中值定理
5 定理11 设函数y = ƒ(x)在区间(a , b)内具有二阶导数, 则 (1) ( , ), ( ) 0, ( ) ( , ) = x a b f x y f x a b 均有 曲 在 是上凹的 + – o x y a • • b y= ƒ(x) • 0 0 ( , ( )) x f x ( , ( )) x f x ( , ) x y 0 x x ?分析: 只需证明 f x y ( ) 0 − 即可. : ( , ), ( ) ( ) x a b f x f x 存在, 存在 } 0 0 曲线 上任意一点 的切线方程为 y f x x f x = ( ) ( , ( )) 0 0 0 ( ) ( )( ) y f x f x x x = + − 设 为曲线上的另一个任意点 则 ( , ( )) , x f x 0 由 在 与 之间满足拉格朗日中值定理 ( ) f x x x (2) ( , ), ( ) 0, ( ) ( , ) = x a b f x y f x a b 均有 则曲线 在 内是下凹的