§6.5广义积分 前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a,b有限,而且 还要求被积函数f(x)在[a,b]上有界.然而实际还经常遇到 无限区间或无界函数的积分问题.这两类积分统称为广义 积分.其中前者称为无穷积分,后者称为瑕积分 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的,即先 将广义积分转化为定积分,再对该定积分求极限 一无穷积分 形如(x)(x)和∫”f(x)的积分统称为无穷积分
1 §6.5 广义积分 前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a, b]有限, 而且 还要求被积函数ƒ(x)在[a , b]上有界. 然而实际还经常遇到 无限区间或无界函数的积分问题. 这两类积分统称为广义 积分. 其中前者称为无穷积分, 后者称为瑕积分. 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的, 即先 将广义积分转化为定积分, 再对该定积分求极限. 一.无穷积分 形如 ( ) , ( ) ( ) b a f x dx f x dx f x dx + + − − 和 的积分,统称为无穷积分
定义2设(x)在an+∞)上连续,且当b>a时,若极限 im/(xk存在,则称无穷积分[f(x)hx收敛,否则 b→+00 就称无穷积分「(x发散此时记号Jf(x)k 不再表示数值了,无穷积分没有意义 注1若J(x)收敛,则有厂f(x)=m(x)存在 注2类似地可定义」f(xk=mJ/(xk(a<b) 而」(x)k=f(x)+(x)(ve∈(m+) 则只有无穷积分(x)和∫1(x)同时收敛时,才有 ∫"(x)k收敛
2 不再表示数值了, 无穷积分没有意义. lim ( ) b b a f x dx →+ ( ) a f x dx + ( ) a f x dx + ( ) a f x dx + 定义2 设ƒ(x)在[a, +∞)上连续, 且当 b>a 时, 若极限 收敛; 否则, 发散. 存在, 则称无穷积分 就称无穷积分 此时记号 注1 若 注2 类似地可定义 ( ) lim ( ) ( ). b b a a f x dx f x dx a b − →− = ( ) ( ) ( ) ( ( , )) c c f x dx f x dx f x dx c + + − − 而 = + − + 则只有无穷积分 ( ) ( ) c c f x dx f x dx + − 和 同时收敛时, 才有 收敛. f x dx ( ) + − ( ) ( ) lim ( ) . b a a a b f x dx f x dx f x dx + + →+ = 收敛, 则有 存在
倒17计算广义积分()/a ∞1+x dx dx 解 1+x 1+ 01+ 而 lin 1+ a→)-00da 1+x lim [arctan]=-lim arctan=-(n) 同理 dx ax Im J01+x2b→+∞01+x lim [arctan x]=lim arctan b 故 丌丌 1+x222
3 例17 计算广义积分 2 (1) 1 dx x + − + 0 2 2 2 1 1 1 0 dx dx dx x x x + + − − = + + + + 解 0 0 2 2 lim 1 1 a a dx dx x x − →− = + + 而 2 2 0 0 lim 1 1 b b dx dx x x + →+ = + + 同理 0 lim [arctan ] a x →− a = lim arctan ( ) a 2 2 a →− = − = − − = lim[arctan ] lim arctan b b 0 2 b x b →+ →+ = = = 2 1 2 2 dx x + − = + = + 故
f2) te dt(p>0 解|teat= limte"pdt b-+∞J0 lim I tde lim[te p →)+0o b→)+∞0 ∫e lim =e op-lil b→)+∞ b→)+∞ e r t b→+00 b→>+∞ 而mb b -lim ")=ln 0 b→+00 P b e b→>+0 bp 故
4 0 0 b lim b pt pt te dt te dt + − − →+ = 解 b 0 1 lim b pt tde p − →+ = − b 0 1 lim[ 0 b pt pt b te e dt p − − →+ = − + 2 b b 1 lim lim 0 bp pt b b e e p p − − →+ →+ = − − 2 2 b b 1 1 lim lim b bp pb e e p p p − − →+ →+ = − − + 2 b 1 lim b bp e p p − →+ = − + 2 b b b 1 lim lim (" ") lim 0 bp bp bp b b e p pe p e − →+ →+ →+ = = = 而 2 0 1 pt te dt p + − = 故 0 (2) ( 0) pt te dt p + −
例18讨论无穷积分 (a>0的敛散性 当p=1时, adxr+odx简记为,+ In x x a 而当≠1时, P dx P P 重要结论: 当>时,∫ d收敛, 印≤1时, 发散
5 例18 讨论无穷积分 ( 0) . p a dx a x + 的敛散性 解 当 p =1时, ln . x a + = = + 简记为 而当p ≠ 1时, 1 1 p p a dx x x p a − + + = − 当p > 1时, p a dx x + p a dx x + 重要结论: 收敛; 当p ≤ 1时, 发散. p a a dx dx x x + + = 1 , 1 , 1 1 p p a p p − + = −