§10.2一阶微分方程 阶微分方程是最简单的方程.求解的方法主要是 采用初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y”)=0 阶方程的初值问题的数学模型为 F(x,y,y)=0 根据方程本身的特点,一阶方程又可分为
1 §10.2 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 一阶方程的初值问题的数学模型为 0 0 ( , , ') 0 x x F x y y y y 根据方程本身的特点，一阶方程又可分为： F(x, y, y')0 一阶微分方程是最简单的方程. 求解的方法主要是 采用初等解法, 即把微分方程的求解问题化为积分问题
变量可分离的方程 形如f(y)dy=g(x)dx的一阶方程方程,称为变量已分 离的方程 形如y=fx)g()的一阶方程方程,称为变量可分离 方程设g()≠0,则方程可写成变量已分离的方程 gly f∫(x)dh 若函数/与g连续,则两边分别对x与y积分,得 中y 8()」f(x)x+c 就为变量可分离方程的通解.其中c为任意常数
2 一. 变量可分离的方程 形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程, 称为变量已分 离的方程. 形如 y’= f(x)g(y) 的一阶方程方程, 称为变量可分离 的 方程. 设 g(y) ≠ 0, 则方程 可写成变量已分离的方程 ( ) ( ) dy f x dx g y 若函数f与g连续，则两边分别对 x 与 y 积分, 得 ( ) ( ) dy f x dx c g y 就为变量可分离方程的通解. 其中c为任意常数
例2求方程y=2xy的通解 解分离变量,得1=2x 两边积分,得lny=x2+lne 于是原方程的通解为y=ce 例3求方程 cosxsin ydy= cos sinx满足初始条件 0 的特解 解分离变量,得 sin y 中y sInx d x cos y cosx 两边积分,得 Incos y= Incosx+lnc 于是原方程的通解为c0sy= c coSr
3 例2 求方程 y’= 2xy 的通解. 1 dy 2xdx y 解 分离变量, 得 两边积分，得 于是原方程的通解为 2 ln y x lnc 2 x y ce 例3 求方程 cos xsin ydy cos ysin xdx 的特解. 满足初始条件 解 分离变量, 得 sin sin cos cos y x dy dx y x 两边积分，得 lncos y lncos x lnc 于是原方程的通解为 cos y ccos x 0 4 x y
又将初始条件y=。=4代入通解中,得 故满足初始条件的特解为cosy" 2 coS, e 例4已知需求价格弹性为=-1(2,且当Q=0时 P=100.试求价格P与需求Q的函数关系p=fQ) 解由需求价格弹性的定义,有 2 dp o 这是变量可分离的方程移项化简,得 Q·d=-- P 两边积分得Q2=-lnp+lnc1
4 又将初始条件 故满足初始条件的特解为 0 4 x y 代入通解中, 得 2 2 c 2 2 cos y cos x 例4 已知需求价格弹性为 η = -1/Q2 , 且当 Q = 0 时, p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q). 解 由需求价格弹性的定义, 有 2 p dQ 1 Q dp Q 这是变量可分离的方程,移项化简，得 两边积分,得 1 Q dQ dp p 2 1 1 ln ln 2 Q p c
即P=c1e2 又将初始条件Q=0时,p=100代入上式,得c1=100 故需求函数为p=100 二可化为变量可分离的方程 1.齐次方程 形如υ=∫()的一阶方程,称为齐次微分方程,简称 齐次方程 引入新的变换l=2,即y=ux 就可将齐次方程化为变量可分离的方程
5 即 1 2 2 1 Q p c e 又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为 1 2 2 100 Q p e 二. 可化为变量可分离的方程 1. 齐次方程 形如 ' ( ) 的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称 y y f x 齐次方程. 引入新的变换 就可将齐次方程化为变量可分离的方程. , y u y ux x 即