§6.4定积分的计算方法 由牛顿—莱布尼兹公式知:计算定积分f(x) 的关键在于求出f(x)在[a,b]上的一个原函数P(x);而由 第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法 换元法和分部积分法.因而在一定条件下,也可用这几 种方法来计算定积分 凑微分法 因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新 变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改 变积分限.下面举例说明
1 由牛顿—莱布尼兹公式知: 计算定积分 ( ) b a f x dx 因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新 变量, 故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改 变积分限. 下面举例说明. §6.4 定积分的计算方法 一.凑微分法 第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、 换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几 种方法来计算定积分 . 的关键在于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 而由
例11计算()xl+x2dt (1+12)2-(1+02)]=(22-1) 2) Sin x-sin xa 解因√sin3x-sin3x=√sin3x(1-sm2x cOS SIn- x
2 例11 计算 1 2 0 (1) 1 x x dx + 1 2 1 1 2 2 2 0 0 1 1 (1 ) (1 ) 2 x x dx x d x + = + + 解 3 2 2 1 2 1 (1 ) 2 3 0 = + x 3 5 0 (2) sin sin I x xdx = − 3 3 2 2 2 2 1 1 [(1 1 ) (1 0 ) ] (2 2 1) 3 3 = + − + = − 3 5 3 2 解 因 sin sin sin (1 sin ) x x x x − = − 3 2 = cos sin x x
cosx:sin2xx∈[0, cosx. sin-xx∈ thI=cosx sin xdx-[ coS x sin xdx sin xd sinx sin xd sinx Sin 2 r 2 丌4
3 3 3 2 2 2 2 0 sin sin sin sin xd x xd x = − 5 5 2 2 2 2 2 2 4 sin sin 5 5 5 0 x x = − = 2 2 3 3 2 2 0 cos sin cos sin I x xdx x xdx = − 故 3 2 3 2 cos sin [0, ) 2 cos sin [ , ] 2 x x x x x x = −
二换元积分法 定理8若f(x)在[ab上连续,而x=((1)又满足 1)在[a月上单调连续且具有连续导数; (2)(0)2a=b,则(x)b=()(d 证设F(x)是x)的一个原函数,即F(x)=f(x) 故f(x)x=F(b)-F(a) 而F[(t)=F1o(t)(t)=[四(t)q( F[(切)是(t)q(的一个原函数,且
4 (1) 在[α,β]上单调连续且具有连续导数; (2) (α)= a, (β)= b, 则 ( ) ( ( )) ( ) b a f x dx f t t dt = 二.换元积分法 定理8 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 而 x =(t) 又满足 证 设F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 即 ( ) ( ) F x f x = ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = − 故 [ ( )] [ ( )] ( ) d F t F t t dt 而 = = f t t [ ( )] ( ) F t f t t [ ( )] [ ( )] ( ) 是 的一个原函数,且
o()-(o=l()=F(B)-F[(a)=F(b)-F(a) f(x)dx=f(1)·(ut 此式称为定积分的换元公式 在应用换元公式计算定积分时,应注意以下几个问题 1)所选择的代换式x=((1)必须满足定理中的两个条件; 2)换元积分的关键是换限记住“上限对上限,下限对下限”; (3)求出()()一个原函数)=F()后不必象 求不定积分那样把Q()还原成x的函数,而只须直接将t 的上、下限代入相减即可
5 f t t dt [ ( )] ( ) = ( ) [ ( )] ( ) b a f x dx f t t dt = ——此式称为定积分的换元公式. (3) 求出 f t t t F t [ ( )] ( ) = 的一个原函数 ( ) [ ( )] F t [ ( )] = − = − F F F b F a [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) 在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题: (1) 所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件; (2) 换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”; 求不定积分那样把 (t)还原成 x 的函数, 而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可. 后,不必象