2591.证明:若 =q(an>0), 则an=0(q),其中q1>q 证由于Im=q故利用141题的结果,即得 liml a →a 令E=2(q1-g)>0,则由上式知存在n0,使当 ≥n0时,有 q 从而有 a.<q+=q(n≥m0), 其中k=里+g<1,利用x=0(1),即证得 a,=x i=o(i). 2592证明:若 lim q<1(an>0), 则级数∑a收敵 相反的结论不真.研究例子 +3+2+++京+ 证取0<e<1-q,由于 故存在n,使当n≥m时,有 26
an+<q+e=1<1 从而 由于级数∑p-收斂故级数∑a收敛从而级数 n收敛 反之不真,例如,级数 十十立+立++ 显然是收敛的但是, (2)1,当n=2m+1; 12(号”,当n=2 故有 2593证明若对于级数∑a(a>0)极限 lim (A) 存在,则 limNa.=9 (B) 也存在, 相反的结论不真:若极限(B)存在,则极限(A)可以 不存在研究例子 27
3+(-1)° 2 +1 证利用141题的结论,本题的前半部分即得证 反之不真例如,对于级数∑3分有 li 3+(-1)1 2 2 但是 a,2(3+(-)=4,当n为偶数; an+13+(-1)+1 1;当n为奇数, 故极限lm不存在 2594.证明,若 lima=q(an≥0), 则(a)当q<1时级数∑a收敛;(6)当q>1时这级数 发散(哥西判别法的推广) 证()取0<e<(1-q)由于Im√an=q故存在 no使当n≥n时,有 0< q+E 从而 0< a<, 2-(n=n0) 或 +1 0<a< 28
lim Va,=lim vn=1<1, n况 故它是收敛的从而级数∑一23也是收敛的 n2〔√2+(-1)" 2597 3 n√2+(-1)〕n2(√2+1) 3 对于级数∑(2+1),由于 im2a+-lmn2+1(1+1) √+1<1 故它是收做的从面级数∑2七1也是 收敛的 利用拉阿伯和高斯判别法,研究下列级数的收敛性: 2598 2·4/+/2· 2·4·6 解 2n+2 2n+ 由于 2n+ limn a 2m中 =lm Da+ 30
1 2n+1 0 2 故当是>1即P>2时,级数∑(2=)12)收 敛 2599.a4a(a+d),a(a+d)(a+2d) bb(b十d)b(b+d)(b+2d) …(a>0,b>0, d>0) 解=nd an+i atnd 由于 limna.=1=limn b+nd-1 1 lim (6-a)n 6-a 故当 级数∑如+2(7=12收敛 00 a+(n+1)!e 】)中1P 由于 lin 十】