《线性代数》课程教学资源（讲稿）行列式

线性代数第一章讲稿 Chap0序言 线性代数是讨论矩阵理论,与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论 门科学 应用实例。 参考书:《线性代数学习与考试指导》赵树嫄等编 中国人民大学出版社出版 Chap1行列式 §1.排列及逆序数 一、排列 引例:用1,2,3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数? 经过分析可以知道有3×2×1=3个没有重复的三位数,即:123,132,231,213,321, 312。 th1:由n个不同数码1,2,3,…,n组成的有序数组l1,i2…,ln,称为一个n级排列。 如1234,2341为4级排列,25413为5级排列。 说明:1)n个不同元素所有排列的种数有川种 2)排列1234…n称为标准排列。 逆序逆序数 逆序:在n级排列中,若一个较大的数排在一个较小的数前面,称为一个逆序。 逆序数:n级排列中逆序的总数称为逆序数,记为N(i1,l2…,in) 例1、N(2413)=3;N(24153)=4;N(12345)=0;N(36715284)=13 奇(偶)排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列:逆序数为偶数的排列称为偶排列。 例2、求n级排列123…n及n级排列n(n-1)…21的逆序数并判别是奇排列,还是偶 排列? 解:∵N(123…n)=0,∴123…n为偶排列 又排列mMn-1)…321的逆序数N(n-1)…32)=m-1), 当n=4k,4k+1时,是偶排列:当n=4k+2,4k+3时,是奇排列。 、对换 在一个n级排列i1,2灬…in中,若将其中两个数码对调,其它数码不变,得到另一个排 列,称为一个对换 如:1,l2…,l3y…12…,l经对换(,i1)得:h1,l2…,l…ls 第一章-1

线性代数第一章讲稿 第一章- 1 - Chap 0 序言 线性代数是讨论矩阵理论，与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论 一门科学。 应用实例。 参考书：《线性代数学习与考试指导》赵树嫄等编 中国人民大学出版社出版 Chap 1 行列式 §1.排列及逆序数 一、 排列 引例：用 1，2，3 三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 经过分析可以知道有 321= 3! 个没有重复的三位数，即：123，132，231，213，321， 312。 th1：由 n 个不同数码 1,2,3,  ,n 组成的有序数组 n i ,i ,...,i 1 2 ，称为一个 n 级排列。 如 1234，2341 为 4 级排列，25413 为 5 级排列。 说明：1） n 个不同元素所有排列的种数有 n! 种； 2）排列 1234n 称为标准排列。 二、 逆序 逆序数 逆序：在 n 级排列中，若一个较大的数排在一个较小的数前面，称为一个逆序。 逆序数： n 级排列中逆序的总数称为逆序数，记为 ( , ,..., ) 1 2 n N i i i 。 例 1、 N(2413) = 3 ； N(24153) =4 ； N(12345) =0 ； N(36715284) =13 奇（偶）排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。 例 2、求 n 级排列 123n 及 n 级排列 n(n −1)21 的逆序数 并判别是奇排列，还是偶 排列？ 解：  N(123n) = 0，123n 为偶排列， 又排列 n(n −1)321 的逆序数 2 ( 1) ( ( 1) 321) − − = n n N n n  , 当n = 4k,4k +1 时，是偶排列；当 n = 4k + 2,4k + 3 时，是奇排列。 三、 对换 在一个 n 级排列 n i ,i ,...,i 1 2 中，若将其中两个数码对调，其它数码不变，得到另一个排 列，称为一个对换。 如： s t n i ,i ,...,i ,...,i ,...,i 1 2 经对换 ( , ) s t i i 得： t s n i ,i ,...,i ,...,i ,...,i 1 2

线性代数第一章讲稿 24153对换(4,5)得25143;24153对换(2,1)得14253 Th2:任意一个排列经过一个对换后改变奇偶性 如:24153对换(4,5)得25143,从一个偶排列变为一个奇排列 Th3:n个数码(n》1)共有n个n级排列,其中奇偶排列各占一半。P5表1-1。 123,132,231,213,312,321 §2n阶行列式定义 、二阶行列式 记号 a1 a1a2-a12a21表示代数和,称为二阶行列式 说明:1)解释:两行、两列,横写的叫行(第一个下标),纵写的叫列(第二个下标), 从左上角到右下角的对角线称为主对角线 =a1a2-a2a21=∑(-1) 例1、计算行列式 解: 4×1-3×2=-2 例2、设 =?时,D≠0 解 A(λ-3),∴当≠0且≠3时,D≠0 三阶行列式 记号: a21 a22 a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a31-ana23a32-a12a21a33-a13a22a31 ∑(-1)Ma1a2a3称为三阶行列式,记D3 例3、计算行列式31 23 解:31 31231=1×1×1+2x2×3+3×3×3-3×1×2-1×2×3

线性代数第一章讲稿 第一章- 2 - 24153 对换（4，5）得 25143； 24153 对换（2，1）得 14253 Th2： 任意一个排列经过一个对换后改变奇偶性。 如：24153 对换（4，5）得 25143，从一个偶排列变为一个奇排列。 Th3： n 个数码（n>1）共有 n! 个 n 级排列，其中奇偶排列各占一半。P5 表 1-1。 如：123，132，231，213，312，321 §2 n 阶行列式定义 一 、二阶行列式 记号 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 表示代数和，称为二阶行列式 说明：1）解释：两行、两列，横写的叫行（第一个下标），纵写的叫列（第二个下标）， 从左上角到右下角的对角线称为主对角线； 2） 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − ＝ − 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) j j N j j a a 例 1、计算行列式 3 4 1 2 解： 3 4 1 2 ＝ 41−32 = −2 例 2、设 3 1 2   D = ，当  = ? 时， D  0。 解：  3 1 2   D = ＝( − 3) ， 当   0且  3 时， D  0 二 、三阶行列式 记号： 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − ＝  − 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( 1) j j j N j j j a a a 称为三阶行列式，记 D3 例 3、计算行列式 2 3 1 3 1 2 1 2 3 。 解： 2 3 1 3 1 2 1 2 3 ＝ 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 3 1 ＝111+ 223+333−312−123

线性代数第一章讲稿 2×3×1=22 例4、设D3=4x0,当x为何值时,D≠0 解:∵D3=2x(x-2),要D3=2x(x-2)≠0,只需x≠0或≠2 分析三阶行列式的结构 1)项数:共6=3!项,每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,且每一项可 行标:第一个下标123是1,2,3的标准排列 以表示为aa2a2n1列标:第二个下标1是12,3的某个排列 这样的排列共有6=3种,对应6=3项。 2)符号:3项正3项负:(-1)N带正号的3项列标排列的逆序数是偶数 带负号的3项列标排列的逆序数是奇数 于是D3=a1a2a1=∑-)0aaan 三、n阶行列式 Def:用n2个元素a,(,/=12,,m),组成记,a12…an 2称为n阶行列 式,记Dn,(其中横排称为行,纵排称为列)。 n阶行列式表示这样项的代数和 1)、项数:n个数字所有排列共川个,共有n项,每一项是位于不同行不同列n个元 素的乘积,且每一项可表示为 行标:第一个下标123…n是1,2,…,n的标准排列; a1a2,amn列标:第二个下标2…是123…,m的某个排 列,这样的排列有n种,对应n项 2)、符号:n项正n项负:(DA带正号的n项列标排列的逆序数是偶数 带负号的n项列标排列的逆序数是奇数 行列式的一般项为:(-1)0)a1a2a 于是D,=∑(-1)0-1a1a2…amn,即

线性代数第一章讲稿 第一章- 3 - − 231= 22 例 4、设 x x x D 1 0 4 0 3 1 3 = ，当 x 为何值时， D3  0。 解： 2 ( 2) D3 = x x − ，要 D3 = 2x(x − 2)  0 ，只需 x  0或  2 分析三阶行列式的结构： 1）项数：共 6＝3！项，每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，且每一项可 以表示为 1 1 2 2 3 3 a j a j a j      这样的排列共有 = 种，对应 = 项。 列标：第二个下标 是 ，，的某个排列， 行标：第一个下标 是 ，，的标准排列； 6 3! 6 3! 1 2 3 123 1 2 3 1 2 3 j j j 2）符号：3 项正 3 项负：    − 带负号的 项列标排列的逆序数是奇数 带正号的 项列标排列的逆序数是偶数 3 3 ( 1) ( ) 1 2 3 N j j j ， 于是 = =  − 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 ( 1) j j j N j j j a a a a a a a a a a a a D 三、 n 阶行列式 Def：用 2 n 个元素 ij a ，(i, j = 1,2,..., n) ，组成记号 n n nn n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 称为 n 阶行列 式，记 Dn ，（其中横排称为行，纵排称为列）。 n 阶行列式表示这样项的代数和： 1）、项数： n 个数字所有排列共 n! 个，共有 n! 项，每一项是位于不同行不同列 n 个元 素的乘积，且每一项可表示为 njn a j a j ...a 1 1 2 2      ! ! . 123 123 1 2 1 2 列，这样的排列有 种，对应 项 列标：第二个下标 是 ， ， 的某个排 行标：第一个下标 是 ，， ， 的标准排列； n n j j j n n n  n    2）、符号： n 项正 n 项负：    − 带负号的 项列标排列的逆序数是奇数 带正号的 项列标排列的逆序数是偶数 n n n N( j j j ) 1 2 ( 1)   行列式的一般项为： n n j j nj N j j j ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − ； 于是 n n j j nj N j j j Dn ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) = − ，即

线性代数第一章讲稿 ∑(-1) N(/2…j 取遍n级排列 注:(1)一个行列式有一行(或一列)的元素都为0,则行列式为0 (2)一阶行列式|a=a,n阶行列式有时简记为|an| 例5、考虑下列问题: 1).有一个五阶行列式,a13a2a2a43a54为其中一项,试确定其符号; 2).设ana23a314a3为五阶行列式的一项,取“-”号,试确定,j 解:1)该行列式的列标:31254,逆序数N(31254)=3,取负号; 2)给定项的列标排列为i34八1,则取i=2,j=5或i=5,j=2 若取i=2,j=5,N(23451)=4,若取i=5,j=2,N(53421)=9,据题意应取 l=5,J 例6、证明下三角行列式: 000 D=a az ax o 000 0,t=1,2 证明:行列式D的一般项为(-1)-)ana2、am,由行列式的定义及D的结构 知:非零项仅一项(-1)023ma1a2.am,而N(123.n)=0 所以原式成立。 同理上三角行列式: D=00a 333 a1422a 000 o a 特例:对角行列式 第一章-4

线性代数第一章讲稿 第一章- 4 - n n nn n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n n j j nj N j j j j j n ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 1 2 ( ... ) ...  − 取遍 级排列 。 注：（1）一个行列式有一行（或一列）的元素都为 0，则行列式为 0； （2）一阶行列式 | a |= a ， n 阶行列式有时简记为 | | aij 。 例 5、考虑下列问题： 1）．有一个五阶行列式， a13a21a32a45a54 为其中一项，试确定其符号； 2）．设 a1ia23a34a4 ja51 为五阶行列式的一项，取“－”号，试确定 i, j 。 解：1）该行列式的列标：31254，逆序数 N(31254) = 3 ，取负号； 2）给定项的列标排列为 i34 j1 ，则取 i = 2, j = 5或i = 5, j = 2 若取 i = 2, j = 5 ， N(23451) = 4 ，若 取 i = 5, j = 2 ， N(53421) = 9 ，据 题意 应取 i = 5, j = 2 。 例 6、证明下三角行列式： n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 11 22 1 2 3 31 32 33 21 22 11 = = ，aii  0 ，i = 1,2,...,n 。 证明：行列式 D 的一般项为 n n j j nj N j j j ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − ，由行列式的定义及 D 的结构 知：非零项仅一项 nn N n ( 1) a11a22 ...a (123... ) − ，而 N(123...n) = 0 所以原式成立。 同理上三角行列式： n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a D ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ... 0 ... ... ... ... 33 3 11 22 22 23 2 11 12 13 1 = = ， aii  0 ，i = 1,2,...,n 。 特例：对角行列式

线性代数第一章讲稿 000 D=00 33 0000 au 000 例7、证明反三角行列式 n(n-1) D aIna2n-.an-12anI n1an1200 证明:行列式D的一般项为(-1)0-1)a1a21…am1,由行列式的定义 及D的结构知:非零项仅一项(-1)(m012 而N(n(n-1) 21)=(n-1)+(n-2)+…+2+1=2(n-1 所以原式成立。 00 00 特例D00 a1na2,n-1…an-1,2an n-1,2 00 00000 例8、计算四阶行列式D002 0300 400 解:D=(-1)21×2×3×4=24 Th4:n阶行列式D=an1的一般项为(-1) N(42-n)+N(h/2…Jn) 其中i,2…,n,J1,2…,J均为n级排列。 N(i432k)+N(S2j14) 思考题:若 as242a3/a21ak4是五阶行列式D=an|的一项, i,jk应取何值?此时,该项的符号是什么

线性代数第一章讲稿 第一章- 5 - nn nn a a a a a a a D ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 33 11 22 22 11 = = ， aii  0 ，i = 1,2,...,n 。 例 7、证明反三角行列式 1 2, 1 1,2 1 2 ( 1) 1 1,1 1,2 3 1 3 2 3, 2 2 1 2 2 2 3 2, 1 1 1 1 2 1 3 1, 1 1 ( 1) ... 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D − − − − − − − − = = − 。 证明：行列式 D 的一般项为 n n j j nj N j j j ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − ，由行列式的定义 及 D 的结构知：非零项仅一项 1 2, 1 1,2 1 ( ( 1)...21) ( 1) ... n n n n N n n a a − a − a − − ， 而 2 ( 1) ( ( 1)...21) ( 1) ( 2) ... 2 1 − − = − + − + + + = n n N n n n n ， 所以原式成立。 特例： 1 2, 1 1,2 1 2 ( 1) 1 1,2 3, 2 2, 1 1 ( 1) ... 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a D − − − − − − = = − 。 例 8、计算四阶行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 D = 解： ( 1) 1 2 3 4 24 2 4(4 1) = −    = − D Th4： n 阶行列式 | | D = aij 的一般项为 n n n n i j i j i j N i i i N j j j ( 1) a a ...a 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ... )+ ( ... ) − ， 其中 n i ,i ,...,i 1 2 ， n j , j ,..., j 1 2 均为 n 级排列。 思考题：若 5 42 3 21 4 ( 432 ) (52 14) ( 1) i j k N i k N j a a a a a + − 是五阶行列式 | | D = aij 的一项，则 i, j, k 应取何值？此时，该项的符号是什么？