<2. nlO 于是,当n≥n时,有 O<na <2E 因此, limna=0.本题获证 2572.若当≈12,3,灬时,im(an+1+an2+…+an+p) 爬一 0问级数∑a是否收敛? 解若当p=1,2,3,…时, lim(a+ tan+2t.+a,+e)=0, (1) 并不一定有级数∑a收敛例如取a=,显然级数 发散,但却有 0<an+1+an+2+… y+n+2 1 ntpn+I 而lim n+1 0,故对一切p(1)式均成立 这个事实与哥西准则并不矛盾,因为在哥西准则 中,对于任给的e>0,存在数N=N(e),使当n>N和 p>0时,不等式 an+2+…+an+,|<E 成立,则级数∑a收敛其中的N只依赖于E,而与P无 关.本题的叙述中,条件并没有排除N要与户有关 利用哥西准则,证明下列正项级数的收敛性 15
2573.a++…+;+…(|an|<10) 证|S+P-S。|= +÷G#+“+G+ ≤1m4+10+1+…+1n+=1 10 1+1n+… 10 任给e>0,要|s+-S<,只要p<9,即只要 2+lg 取N=2+ga〕,则当n>N时,不等式 IS,te-S.<e 对一切正整数皆成立因此级数∑收斂 2574.5mx+9+…￥Z sInn 证|S…+-Sn|= sin(n+1)x sin(n+p)x 需+I +… ≤a4+… 2 由于级数会收做故按哥西准则对于任给的 e>0,总存在正整数N使当n>N时,对任意正整数 16
有 十十…十。,< (2 2 由(1)式及(2)式得知,当n>N时,不等式 IS,+r-SI< 对一切正整数P皆立因此级数∑5收敛 2575. cOSC--coS cos 2r-cos 3x cosz一cos〔n+1)x cosix -cos (i+I)x ∞(n+1)5 (-a+1 cos(i+1)x cos(n+p+1)x p 故|Sn+-Sl≤ 十1 十 十P n+1 n 对于任给的e>0,取正整数N=〔〕,则当n>N时,对 于一切正整效户有 ISn+e-SI< 2 < 因此,级数 OSRT o(+1x收敛 7
利用哥西准则,证明下列级数的发散性 2576.1++ +-十 解取0<o≤2·不论n多大,若令p=n,则有 IS+eSn i 丌十1·n+2 2 因此级数∑发散 2577.1+ 3111 解取0<50<不论n多大,若令p=3n,则有 S3n+-S3n1=11+ 1·3n+23n+3 +… 2·6n-16 3n+33n+33n+3 十…+十 6n676 3n+11n+2 十…十÷) l 3 22 十六十…十) 项 因此级数∑ n十13n+23n+3 }发散 18
故级数∑型收敛 2581.(a) +2+ 3 …十 2"n (6) L3·3 …十 解(a)由于 2-+1(n+1)! (n+1)+1 -lam 2n1 im2(1+-)-果 2<1 故级数∑型收敛 (6)由于 3x+)(n十 (n+1) In 3°n! =lim3 1+ >1 故级数 发散 2582.1)2+>2 (2!)2,(3!)2 十 ·十 解由于 〔(n+1) Jim im (n! i