数∑ )2也收 敛 2563.-+ 十… √n+1 解由于0<<士且级数∑收敛故 级数∑—}也收敛 2564. 十 …+ 1.3 3·5 (2n-1)(2n+1) 解由于 √(2n-1(2n+1)也发小 >n>0且级数 1)(2n+1) 发散故级数∑ 2565证明,由等差级数各项的倒数组成的级数是发散的 证设等差级数为∑〔a+(n-1)d,其中d为公差 当d>0时,总存在正整数n,使a<(n-1)d, 则当n≥n时,总有a+(n-1)d<2(n-1)d.于是, a+on 注意到级数>2m发散,因而级数∑a+(n-=12 发散故级数∑ Ha+(n-1)也发散 当d=0时,a不可能为零,此时级数++ 10
++…显然发散 当d<0时,将此级数的各项乘以-1即化为d>0 的情形,于是,这级数也发散 总上所述,不论d为何值级数∑a+a-1 均发散 25660明若级数∑a(A及∑b(B皆收敛且a≤c≤ b(n=1,2,…),则级数∑C)也收敛若级数(A)与 (B)皆发散,问级数(C)的收敛性若何? 证当级数(A)及(B)收敛时,由于an≤c≤b,故 0≤c-an≤b一an因为级数∑(bn-an)收敛,故 级数∑(cn-an)也收敛,再由级数∑an及∑〔Gn an)的收敛性即得知级数∑an+(cn-a,)=∑c也 收敛 若级数(A)与(B)皆发散,则级数(C)可能收敛, 也可能发散例如,级数 l-1-1 及1+1+1+ 皆发散而级数∑当c=0(-1<cn≤1)时收敛; 当c=2(-1<cn<1)也发散 2567.设已知二发散级数
及∑b 的各项不为负数,问下列二级数的收敛性若何 (a)∑min(an,)及(6)∑max(anb,)? 解(a)∑min(an,b)可能收敛也可能发散例如级 数 1 及∑ 皆发散,但是 ∑min(anbn)=0+0+…+0+…却收敛又如级 数∑n及∑2皆发散,但是∑mna,6)=∑2 也发散 (6)∑max(anb,)一定发散事实上 max(anb)≥an≥0, 而级数∑a发散故级数∑max(an,b)也发散 2568证明若级数∑a(an≥0)收斂则级数∑a也收敛 倒过来不成立,举出例子 证由于∑a收敛,故man=0,于是,总存在n使 当n≥n时,有0≤a.<1.从而,当n≥n时,有 0≤a<a灬由于级数∑a收敛,当然级数∑a收敛, 12
故级数∑a收敛从而,∑a也收敛 反之不真例如,=1级数∑a收敛,而级数 a却发散. 2569证明,若级数∑a及∑收敛,则级数 ∑la.n|,∑(an+b,)2,2 也收敛 证由于0≤2{a,bn≤a+b,且级数∑(a2+b) 收敛故级数∑|a,bn|收敛 其次,由于(a+b)2=a2十+b+2anbn且级数 ∑a∑及∑a皆收敛故知级数∑(a+b) 也收敛 最后,设b=1,利用第一个结果即证得级数 la ∑6收斂 2570证明,若 limna a≠0 则级数∑a发散. 13
证mn=不妨设a>0.由于 limna,=a故对于任 给的0<<a,总存在no,使当n≥时,有1>a E>0或an>(a-E)±>0. 如果级数∑a收敛则级数∑a也收敛从而会 得出级数∑L收敏的错误结论因此原级数∑a发 散 257证明若各项为正且其值单调减少的级数∑a收敛, 则 limna =0 证对于任何的m与n>m,我们有 (n-m)an<an+1+an+2+…十a<am 其中am为该收敛级数的余式,由此得 n一n 由于级数∑a收敛,故对于任给的E>0,我们可 取定某m,使 a &E 其次,由于lim =1,故存在n0(n0>mo) 使当n≥n。时,有