陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）1.3 复数的乘幂与方根

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNAF定理二，两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差按照商的定义，当z0时,z=z1,证31512+Argz1,Argz = ArgZ1Z.5于是= Argzz - ArgziCZ.12设复数和z的指数形式分别为Z=re'0, Z2 =re'02, 则=e(0-01). [证毕]Zri

定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证 按照商的定义, 0 , 当 z1  时 , 1 1 2 2 z z z z  , 1 1 2 2 z z z z  Arg Arg Arg , 1 1 2 2 z z z z         , 1 2 1 2 z z z z 于是  Arg Arg Arg . 2 1 1 2 z z z z         设复数z1和z2的指数形式分别为 , 1 1 1 i z  r e . ( ) 1 2 1 2  21  i e r r z z z2  r2e i 2 , 则 [证毕]

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院注arg(z)=argz,+argz2arg(z, / z, ) = argz, argz2不一定成立例:arg(—1)= π, arg(1)= 0但是arg(-1)+ arg(-1) = 元 +元 = 2元,arg[(-1)(-1)] ± arg(-1) + arg(-1)

. arg( / ) arg arg : arg(z ) argz argz 1 2 1 2 1 2 1 2 不一定成立 注 z z z z z     arg[( 1)( 1)] arg( 1) arg( 1). arg(-1) arg(-1) 2 , arg( 1) , arg(1) 0                 但是 例： －

陕师記大學乐数学与信息科学学院RMAIHAANXINOIN例1 已知 z1 ==-icos(1 - /3i), zz = sin -332求 z1 ·Z, 和Z.2元解 因为 zi =cos3I+isinCOs166元元元元所以 1· Z2 = cos+isin3366元元元IL+isinCOS34Z

例1 解 , 3 cos 3 (1 3 ), sin 2 1 1 2    已知 z   i z  i , 3 sin 3 cos 1                 因为 z   i , 6 sin 6 cos 2                 z   i                        3 6 sin 3 6 cos 1 2 所以 z z i  i,                       3 6 sin 3 6 cos 2 1 i z z . 2 1 2 3   i . 2 1 1 2 z z 求 z z 和

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院HOANXN例2 已知正三角形的两个顶 点为 z,=1和z,=2 +i,求它的另一个顶点解?如图所示,=2+i元将表示 z2 -z 的向量3+X绕z, 旋转(或-)就得Z333到另一个向量，它的终点即为所求顶点z（或）元元-3因为复数e3的模为1，转角为

例2 解 . 1 2 , 1 2 求它的另一个顶点 已知正三角形的两个顶 点为 z  和z   i , ( ). ) 3 ( 3 3 3 1 2 1 z z z z z      到另一个向量 它的终点即为所求顶点 或 绕 旋转 或 就得 将表示 的向量 如图所示, o x y 1 z1  z  2  i 2 3 z 3 z 3  , 3 1, 3   因为复数 的模为 转角为 i e