2)变换阵的唯一性: 命题:设(A,b)可控,若有满秩线性变换阵P和P2, 使得 A= PAPb=Pb A=PAL 212 b=pb 则必有 证明:事实上, bAb…Amb1=P|bAb…A(mb1 PP[bAbA-b1 →(1-PP2)=0 →P2 水证完
2).变换阵的唯一性： 则必有 证明：事实上， 2 Ab P P , 设( , )可控，若有满秩线性变换阵 和1 使得 命 ：题 1 11 1 1 22 2 , ; , − − = = = = A P AP b P b A P AP b P b P P 1 2 = ( 1) ( 1) 1 [ ][ ] n n − − b Ab A b P b Ab A b " " = 1 1 2 ( )0 ⇒− = − I PP 证完。 1 ( 1) 1 2 [ ] − n− = P P b Ab A b " ⇒ P P 1 2 =
例题:设系统状态方程为 20x+ 40 试将系统状态方程化为可控标准形。 解:先判断可控性,再计算变换矩阵,将状态方 程化为可控标准形。 木*2
22 1 0 0 20 1 1 40 1 x x u ⎡ ⎤ ⎡⎤ − − ⎢ ⎥ ⎢⎥ =− + ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ − 解：先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方 程化为可控标准形。 例题:设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形
03-14 U=b Ab A b detU≠0,故系统可控。 此时标准形中的系统矩阵的最后一行的系数其实就 是A阵特征式的系数,但符号相反。 现根据前述方法构造变换矩阵P 木*2
2 0 3 14 124 1 4 11 det 0, ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ = =− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ ≠ U b Ab A b U 故系统可控。 此时标准形中的系统矩阵的最后一行的系数其实就 是A阵特征式的系数，但符号相反。 现根据前述方法构造变换矩阵 P
252 则变换矩阵为 P= hA hA P=|-32-2 0
[ ] 1 210 5 2 2 2 11 2 11 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − U h 1 2 1 1 2 10 3 2 2 1 21 4 2 3 201 − ⎡ − ⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ =− − = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ − − ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ P P 则变换矩阵为 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ h P hA hA 即
A=PAP1=-3220-2012 400 b=Pb=-32-2 det(sl-a) +4s2+5s ★
1 2 1 1 2 2 1 2 10 3 2 2 0 2 0 1 21 4 2 3 1 4 0 201 010 001 254 − ⎡ − ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = =− − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ − −− ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣⎢ ⎥ −−− ⎦ A PAP 3 2 det( 4 5 2 s I A) − =+ ++ sss 2 110 0 3 2 21 0 4 231 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = =− − = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − b Pb