求可控标准形的方法一:先求变换阵P 计算可控性矩阵U=[bAb…A"bl 2)计算U,并记其最后一行为h hA 3)给出变换阵:P=hA2 hA-I nxn ★
¾求可控标准形的方法一：先求变换阵P 1 1) [ n− 计算可控性矩阵U= b Ab A b]; " 1 2) ; − 计算 ，并记其最后一行为 U h 2 1 3) h hA P hA hA n n n − × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ # 给出变换阵：
4)A=PAP,b=PbC=cP即可求出变换后的系统 状态方程。 hA hA hA A hA hA hA 其中, hAn-a h-a hA -a ha2..-a, hA-l n-2 ★ (凯莱-哈密尔顿定理)
1 1 4) , , − − 由 即可求出变换后的系统 A PAP b Pb c cP = == 状态方程。 2 2 1 1 12 1 0 1 1 0 1 0 1 A P h h hA hA hA hA A= hA hA n n nn n aa a a − − − − ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ −− − − % # # " 其中， 2 1 12 1 ( n n nn n aa a a − =− − − − − − − − hA h hA hA hA " 凯莱 哈密尔顿定理）
另一方面,注意到UU=I 100 台:|bAb…A"b]=l=0 因此有 hb=0.hAb=0., hA"b=0.hA"b=1 A 0 b=Pb=hA b=0 hA 木*2
− 1 另一方面，注意到UU I = 因此有 2 1 0 0 0 1 n − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∴ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P h hA b = Pb = b = hA hA # # 1 100 [ ]0 0 1 n − ⎡⎤ ⎡ ⎤ × ⇔ = ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ b Ab A b I= h #" # " 2 1 0, 0, 0, 1 n n − − hb hAb hA b hA b == = = "
问题:这样构造的P是否可逆? 为证明P为可逆阵,只要证明对任意给定的 O=010… 由 hA ap=a ha hA-I 分ah+ahA+…+anhA"=0即可 木*2
为证明 为可逆阵，只要证明对任意给定的 P 2 1 0 n α α − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ h hA P hA hA # 问题 ：这样构造的 是否可逆？ P 1 1 2 0 n αα αn ⇔ + ++ = − h hA hA " 1 2 [ ] α αα α = " n 即可
为此,假设 ah+ahA+…+a,hAn=0() 用b右乘上式,并考虑到 hb=0. hAb=0.ha b=0.hab=1, 有 0 用Ab右乘(*)式,并考虑到an=0,有 依次类推,有 =0→a=0 木*2
为此，假设 用 右乘上式，并考虑到 b 0 用 右乘（*）式，并考虑到 ，有 Ab αn = 1 1 2 0 (*) n α α αn − h hA hA + ++ = " 2 1 0, 0, 0, 1 n n − − hb hAb hA b hA b == = = ， 有 0; αn = 1 0 − = # αn 依次类推，有 0 α α i = ⇒ ≡ 0