例2设有2×3有理函数矩阵如下,求其次数。 G(s)= S+1(s+1)(S+2)S+3 +1(S+1)(S+2) G(s)的一阶子式是它的各个元素项,其二阶子式有三个, 分别为: s+1 (s+1)2(s+2)(s+1)2(s+2)(s+1)2(s+2)(s+1)(s+2) s+4 (S+1)s(s+1)(S+3)(s+1)(s+3) s(S+1)(S+2)(S+1)(S+2)(S+3)s(S+1)(S+2)(S+3 因此,G(s)的特征多项式是s(s+1)(s+2)(s+3) 6G(s)=4
222 1 1 1 ( 1)( 2) 3 11 1 1 ( 1)( 2) 1 11 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1)( 2) 1 4 ( 1) ( 1)( 3) ( 1)( 3) 1 ( s s ss s G s ss s G s s ss ss ss s s s s s ss s s s s s ∧ ∧ × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ++ + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ++ + +== ++ ++ ++ + + + + = + ++ ++ + 例 2 设有 有理函数矩阵如下，求其次数。 2 3 (s) (s)的一阶子式是它的各个元素项，其二阶子式有三个， 分别为： 1 3 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) ( ) ( 1)( 2)( 3). () 4 s s s s ss s s Gs ss s s δ G s ∧ ∧ − = + ++ + ++ + ++ + = 因此， 的特征多项式是
定义6-1:正则有理矩阵 G(S=N SD(S=D(S)N,(s) 并假设N(s)和D(s)右互质,而D(s)和N(s)左互质。 于是G(s)的特征多项式定义为 detD(s)或detD(s) 且G(s)的次数定义为 degg(s)=degdetD (s)=deg detD,(s) 其中 degdet表示行列式的次数。 木*2
det det de 6 t 1 ∧ ∧ ∧ ∧ − -1 -1 rr l l rr ll r l r l 正则有理矩阵 G(s)=N (s)D (s)=D (s)N (s) 并假设N (s)和D (s)右互质，而D (s)和N (s)左互质。 于是G(s)的特征多项式定义为 D (s)或 D (s) 且G(s)的次数定义为 degG(s)=degdetD (s)=deg D (s) 其中degdet表示行列式 定义 ’： 的次数
定理6-2:设线性多变量时不变动态方程 X=Ax+ Bu y=Cx+ Eu 是正则有理函数G(s)的一个实现。则当且仅当 det(sl-A)=k(G(s)的特征多项式) 或dmA=degG(s) 时,方程F才是不可简约的(可控且可观测的), 其中k为非零常数。 证明:(略) 木*2
. det( ) ( ) dim deg X Ax Bu y Cx Eu sI A k A ∧ ∧ ∧ = + = + − = = 设线性多变量时不变动态方程 是正则有理函数G(s)的一个实现。则当且仅当 G(s)的特征多项式 或 G(s) 时，方程FE才是不可简约的（可控且可观测的）, 其中k为非零常数。 定理6-2： 证明： （略）
6.3正则有理函数的不可简约实现 单变量系统的标准形 =Ax+bl.A∈R"b∈R y=cx+e,c∈R,e∈R A的特征多项式为: △(s)=des-A)=8+0+a22-2+…+ 系统的可控和可观测矩阵为: CA U=[bAb…A"b]∈R,V ∈R n×n ★ A
6.3 正则有理函数的不可简约实现 1 1 , , , , A b AR bR cx e c R R nn n n x xu yu e × × × =+ ∈ ∈ =+ ∈ ∈ A的特征多项式为: 系统的可控和可观测矩阵为： 一、单变量系统的标准形 1 2 1 2 ( ) det( ) − − Δ = − =+ + ++ I A nn n " n s s s as as a 1 1 [ ], n nn nn n − × × − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ∈ =∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c cA U b Ab A b R V R cA " #
1.可控标准形实现 定理:设线性时不变单变量系统可控,则可通过等 价变换将其变成如下所示的可控标准形: 000 T+ U +eu 方程的传递函数为 Bs-+B2s"+…+B ★ S+a1S+…+an_1S+a
12 1 1 21 0 1 0 00 0 0 10 0 0 0 0 01 0 1 [ ] − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −− − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + # # # %# # " " nn n n n x xu aa a a y x eu ββ ββ 定理：设线性时不变单变量系统可控，则可通过等 价变换将其变成如下所示的可控标准形： 1. 可控标准形实现 方程的传递函数为： 1 2 1 2 1 1 1 ˆ( ) n n n n n n n s s g s s as a s a β β β − − − − + ++ = + ++ + "