习题13.2重积分的性质与计算1：证明重积分的性质8。证不妨设g(x)≥0，M、m分别是f(x)在区域α上的上确界、下确界，由mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)、性质1和性质3，可得m[ g(x)dV≤(f(x)g(x)dV≤M [ g(x)dV ,oo0当「g(x)dV=0，积分中值定理显然成立。当[g(x)dV+0，则2[ F(x)g(x)dvF≤M,mJg(x)dv0所以存在μue[m,M]，使得(f(x)g(x)dV0u，[g(x)dv2即[ f(x)g(x)dV = μ[ g(x)dV 。Q2如果f在有界闭区域2上连续，由介值定理，存在eQ，使得f()=μ，所以[ f(x)g(x)dV = f(3)[ g(x)dV 。O2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1）「[(x+y)2dxdy与[[(x+y)"dxdy，其中D为x轴，轴与直线x+y=1所围的区域；(2)[in(x+y)dxdy与[[in(x+y)]dxdy，其中D为闭矩形[3,5]×[0,1]。解（1）因为在D上成立0<x+y<1，所以(x+y)>(x+y)，于是[(x +y)"dxdy>[f(x+y)"dxdy。（2）因为在D上成立x+y≥3，所以ln(x+)<[ln(x+y)2，于是[in(x + y)dxdy < [[in(x +y)P dxdy 。3．用重积分的性质估计下列重积分的值：(){[xy(x+y)dxdy，其中D为闭矩形[0,1]×[0,1];dxdy，其中D为区域（(xJ)x+≤10)；(2) 100+cos?x+cos?y1
习 题 13.2 重积分的性质与计算 1．证明重积分的性质 8。 证 不妨设 g(x) ≥ 0，M 、m分别是 f (x)在区域Ω上的上确界、下确界， 由 mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x)、性质 1 和性质 3，可得 ∫ ∫ ∫ ， Ω Ω Ω m g(x)dV ≤ f (x)g(x)dV ≤ M g(x)dV 当 ( ) = 0，积分中值定理显然成立。当 ，则 ∫ Ω g x dV ( ) ≠ 0 ∫ Ω g x dV M g x dV f x g x dV m ≤ ≤ ∫ ∫ Ω Ω ( ) ( ) ( ) ， 所以存在µ ∈[m, M ]，使得 = µ ∫ ∫ Ω Ω g x dV f x g x dV ( ) ( ) ( ) ， 即 ∫ ∫ Ω Ω f (x)g(x)dV = µ g(x)dV 。 如果 f 在有界闭区域Ω 上连续，由介值定理，存在ξ ∈ Ω ，使得 f (ξ ) = µ ，所以 ∫ ∫ 。 Ω Ω f (x)g(x)dV = f (ξ ) g(x)dV 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) ∫∫ + 与 ，其中 为 D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ + D x y dxdy 3 ( ) D x 轴， y 轴与直线 x + y = 1所围的区域； (2) ∫∫ + 与 D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ + D x y dxdy 2 ln( ) ，其中D为闭矩形[ , 3 5] ×[0 1, ]。 解（1）因为在D上成立 0 < x + y < 1，所以 ，于是 2 3 (x + y) > (x + y) ∫∫ + D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ > + D x y dxdy 3 ( ) 。 （2）因为在D上成立 x y + ≥ 3，所以 ，于是 2 ln(x + y) < [ln(x + y)] ∫∫ + D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ < + D x y dxdy 2 ln( ) 。 3．用重积分的性质估计下列重积分的值： (1) ∫∫ + ，其中 为闭矩形[ , D xy(x y)dxdy D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ + + D x y dxdy 2 2 100 cos cos ，其中D为区域{(x y, )| | x|+| y|≤ 10}； 1
dxdxdz(3)m[+++，其中n为单位球(y)+y*+≤1)。解（1）因为在D上成立0≤xy(x+y)≤2，所以0 ≤ [xy(x + y)dxdy≤2 。D11（2）因为在D上成立，所以102100+cos?x+cosy100100dxdys≤2。51100+cos?x+cos? y1（3）因为在2上成立≤1，所以1+x?+2+dxdxdz24元3+×++-23O4.计算下列重积分：(1)[(x3+3xy+y")dxdy，其中D为闭矩形[0,]×[0,1];(2)[Jxyer+dxdy，其中D为闭矩形[a,b]×[c,d];dxdydz(3) [L-[*]，其中为长方体[12][2][12]。解(1)J[( +3xy+y)dxdy=fdyf'(x3+3xy+y3)dx-l'++ +y)=1。(2) [J xye+r dxdy =" xer dxf' yer dy =(eb' -ea?(3) JJ _ dxcbydz(x+y+z)(x+ y+2)2=(x+ y+1)221n1281yx+4x+3x+221255.在下列积分中改变累次积分的次序：(1) ['ax['r(x,y)dy(a<b);(2) axea f(x, )dy(a>0) ;(3) J'ax[,(x, y)dy ;(4) J'af" f(x, )dx + Jayf" (x, )dx ;(5)Jaa"f(x,,z)d（改成先方向，再x方向和=方向的次2
(3) dxdxdz 1 x y z 2 2 + + + ∫∫∫ Ω 2 ，其中 Ω 为单位球{(x y, ,z)|x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 。 解（1）因为在D上成立 0 ≤ xy(x + y) ≤ 2，所以 0 ≤ ( + ) ≤ 2 ∫∫ D xy x y dxdy 。 （2）因为在D上成立 100 1 100 cos cos 1 102 1 2 2 ≤ + + ≤ x y ，所以 2 51 100 cos cos 100 2 2 ≤ + + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 （3）因为在 Ω 上成立 1 1 1 2 1 2 2 2 ≤ + + + ≤ x y z ，所以 π π 3 4 3 1 2 2 2 2 ≤ + + + ≤ ∫∫∫ Ω x y z dxdxdz 。 4．计算下列重积分： (1) ∫∫ + + ，其中 为闭矩形[ , D (x 3x y y )dxdy 3 2 3 D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ ，其中 为闭矩形[,] + D xy dxdy x y 2 2 e D a b × [c,d]； (3) dxdydz ( ) x y + + z ∫∫∫ 3 Ω ，其中 Ω 为长方体[ , 1 2] × [1 2, ] × [ , 1 2]。 解（1）∫∫ + + D (x 3x y y )dxdy 3 2 3 ∫ ∫ = + + 1 0 3 2 3 1 0 dy (x 3x y y )dx ) 1 4 1 ( 1 0 3 = + + = ∫ y y dy 。 （2）∫∫ + D xy dxdy x y 2 2 e = = ∫ ∫ d c y b a x xe dx ye dy 2 2 ( )( ) 2 2 2 2 4 1 b a d c e − e e − e 。 （3） dxdydz ( ) x y + + z ∫∫∫ 3 Ω ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + = − + + = 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 ( 1) 1 ( 2) 1 2 1 ( ) dy x y x y dx x y z dz dx dy 125 128 ln 2 1 2 1 3 2 4 1 2 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − + = ∫ dx x x x 。 5．在下列积分中改变累次积分的次序： (1) a dx f x y dy a b ； b a x ∫ ∫ ( , ) ( < ) (2) dx f x y dy a a ax x ax 0 2 2 2 2 0 ∫ ∫ − ( , ) ( > ) ； (3) dx f x y dy ； x 0 2 0 π ∫ ∫ ( , ) sin (4) dy f x y dx dy f x y dx ； y y 0 1 0 2 1 3 0 3 ∫ ∫ + ∫ ∫ − ( , ) ( , ) (5) dx dy f x y z dz（改成先 方向，再 方向和 方向的次 x x y 0 1 0 1 0 ∫∫∫ − + ( , , ) y x z 2
序积分）；(6)(x,)d（改成先方向，再方向和方向的次序积分）。解 (1) 'axf'f(x,)dy=J'af,'f(x,y)dx。(2) "da(x)dy-++。(3)a[(x,y)dy=dy"rsin (x, )dx-L,dyarein (x,)dx(4) f'dyf2" f(x, )dx+F'dyf" f(x, )dx= 'dx f(x, )dy 。(5) adx*"f(x,y,z)dz=I'dzf'dxf* f(x, y,z)dy -f, d-f,dxf-* f(x, y,z)dy 。注：也可写成f'dzf"'dx"f(x,y,=)dy+Jd=Jdx"f(x,y,=)dy。(62=6.计算下列重积分：(1)[xy2dxdy，其中D为抛物线y2=2px和直线x=号(p>0)所围的区域；(2) (f_ dxdy(a>0)，其中D为圆心在(a,a)，半径为a并且和坐V2a-x标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域；(3)[[eydxdy，其中D为区域(x,y)x+≤1)；(4)[[(x2+y")dxdy，其中D为直线y=x,y=x+a,y=a和y=3a(α>0)所围的区域；其中D为摆线的一拱(5) [[ ydxdy-，nx=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2元)与x轴所围的区域;(x2+y2)(6)/dxdy，其中D为直线y=xy=-1和x=1所围的区域；(7) [[x2ydxdy, 其中 D=((x,y)|x? +y? ≥2x,1≤x≤2, 0≤y≤x) ;3
序积分）； (6) dx dy f x y z dz x x − − − x y − + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) （改成先 方向，再 方向和 方 向的次序积分）。 x y z 解（1）∫ ∫ = ∫ ∫ 。 b y b a x a b a dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx （2） 2 2 2 0 2 ( , ) a ax ax x dx f x y dy ∫ ∫ − 2 2 2 0 2 ( , ) a a a y y a dy f x y dx − − = ∫ ∫ ∫ ∫ + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) + ∫ ∫ a a a a y dy f x y dx 2 2 2 2 ( , ) 。 （3） dx f x y dy 。 x 0 2 0 π ∫ ∫ ( , ) sin = ∫ ∫ 1 − 0 arcsin arcsin ( , ) y y dy f x y dx π ∫ ∫ − + − − 0 1 2 arcsin arcsin ( , ) y y dy f x y dx π π （4） + = ∫ ∫ ∫ ∫ y −y dy f x y dx dy f x y dx 3 0 3 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) ∫ ∫ 2 − 0 3 2 1 ( , ) x x dx f x y dy 。 （5） dx dy f x y z dz x x y 0 1 0 1 0 ∫∫∫ − + ( , , ) = ∫ ∫ ∫ 。 1 − 0 1 0 1 0 ( , , ) x dz dx f x y z dy ∫ ∫ ∫ − − 1 0 0 0 ( , , ) z x z dz dx f x y z dy 注：也可写成∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 。 − − − + x z x x z z dz dx f x y z dy dz dx f x y z dy 1 0 1 0 1 0 1 1 0 ( , , ) ( , , ) （6） = ∫ ∫ ∫ + − − − − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) x y x x dx dy f x y z dz ∫ ∫ ∫ − − − − 1 0 2 2 2 2 ( , , ) z z z y z y dz dy f x y z dx 。 6． 计算下列重积分： (1) ∫∫ ，其中 为抛物线 和直线 D xy dxdy 2 D y 2 = 2 px x p = p > 2 ( 0) 所围 的区域； (2) ( 0) 2 > − ∫∫ a a x dxdy D ，其中 为圆心在 ，半径为 并且和坐 标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域； D ( , a a) a (3) ∫∫ ，其中 为区域{( + D dxdy x y e D x y, )| | x|+| y|≤ 1}； (4) ∫∫ + ，其中 D 为直线 D (x y )dxdy 2 2 y x = , y x = + a, y = a 和 y = 3a (a > 0)所围的区域； (5) ∫∫ ，其中 为摆线的一 拱 D ydxdy D x = a(t − sin t),y = a(1− cost) (0 ≤ t ≤ 2π ) 与 x轴所围的区域； (6) ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + D y x dxdy ( x y ) 2 1 2 2 1 e ，其中D为直线 y = x, y = −1和 所围的 区域； x = 1 (7) ∫∫ ，其中 ； D x ydxdy 2 {( , ) | 2 , 1 2, 0 } 2 2 D = x y x + y ≥ x ≤ x ≤ ≤ y ≤ x 3
xy2dxdydz，其中2为曲面z=xy，平面y=xx=1和z=081所围的区域；dxdydz(9) [(++y+)，其中2为平面x=0. =0. ==0和×+y+=1所围成的四面体：(10)zdxdydz，其中？为抛物面z=x2+y?与平面z=h(h>0)所围的区域；JJ2dxdydz，其中为球体+y2+?<R?和(11)0x2+y2+2? ≤2Rz(R>0)的公共部分;（12）Jddyd，其中2为椭球体号+兴二<1a?622y2(p2_)dy=解（1）「[xy’dxdy=「"y?dyxdx:Q212pdxdxdy=raa-/2gxa(2) [[--dy:2a-x12g-/2a-r=(2/2-9)a2.(3) Jfery dxdy =J'e*dxffe'dy+Jedxf'fe'dy=e-J[(x* +y")dxdy = [ dyf"(x* +y")dx（4）-I(2ay2-ay+a)dy=14a*。25元(5) J yddy=day=(-cos)dt=27x2+y2)(6) J1+xe2) dady =ydy+xed+xo-erdy2dy(7) xy=J=(-)=%20(8)d
(8) xy 2 3 z dxdydz ，其中 Ω 为曲面 Ω ∫∫∫ z = xy ，平面 y = x, 1 x = 和 所围的区域； z = 0 (9) dxdydz (1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ) ，其中Ω为平面 x = 0 0 , , y = z = 0 2 ) 和 所围成的四面体； x + y + z = 1 (10) ，其中 Ω 为抛物面 与 平 面 所围的区域； zdxdydz Ω ∫∫∫ z x = + y 2 z h = (h > 0 (11) ∫∫∫ ，其中 Ω 为球体 和 Ω z dxdydz 2 2 2 2 2 x + y + z ≤ R x y z 2Rz 2 2 2 + + ≤ (R > 0) 的公共部分； （12）∫∫∫ ，其中 Ω 为椭球体 Ω x dxdydz 2 1 2 2 2 2 2 2 + + ≤ c z b y a x 。 解（1）∫∫ D xy dxdy 2 = = − = ∫ ∫ ∫ − − p p p p y p p dy p y y dy xdx y ( p ) 8 1 2 4 2 2 2 2 2 2 5 21 1 p 。 （2）∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − = − a a− ax−x a x dx a x a dy a x dx a x dxdy 0 2 0 0 2 2 2 2 D = 2 3 ) 3 8 (2 2 − a 。 （3）∫∫ + D dxdy x y e = + = ∫ ∫ ∫ ∫ − − + − − − x x x y x x x y e dx e dy e dx e dy 1 1 1 0 1 1 0 1 e e 1 − 。 （4）∫∫ + D (x y )dxdy 2 2 ∫ ∫ − = + y y a a a dy (x y )dx 2 2 3 4 3 2 2 3 ) 14 3 1 (2ay a y a dy a a a = − + = ∫ 。 （5）∫∫ D ydxdy = = − = ∫ ∫ ∫ π 2π 0 3 3 ( ) 0 2 0 (1 cos ) 2 t dt a dx ydy a y x 3 2 5 a π 。 （6）∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + D y x dxdy ( x y ) 2 1 2 2 1 e ∫ ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + − 1 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 y x y ydy xe dx 3 2 ( 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 = − = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − ∫ ∫ − − + y y y e e dy y dy y y 。 （7）∫∫ D x ydxdy 2 20 49 ( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 = 2 = − = ∫ ∫ ∫ − x dx ydy x x x dx x x x 。 （8） xy z dxdydz 2 3 Ω ∫∫∫ 364 1 4 1 0 6 1 0 5 0 3 0 2 1 0 = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x xy x xdx y dy z dz x dx y dy 。 4
dxdydzdz价(9)dxdy(1+ x+ y+=)3(1+x+ y+2)3（a++ld-(-)-m2-%(10) JJ zdxdydz = [" zd [[ dxdy = 元[,=2dz =mh3(11) Jl, -2 dxdydz=JR-’d=]l dxdy59=[222(2Rz-22)d2 +[R=2(R2 -22)dz = 元R5480(12) Jl, x dxdydz = 'ax2dx[lo, dydxa-x?)d=云mbc。=元bc[157.设平面薄片所占的区域是由直线x+y=2,y=x和x轴所围成，它的面密度为p(x,J)=x2+y2，求这个薄片的质量。解设薄片的质量为m，则m = J[ p(x, y)dxdy = f'dy[2-"(x? + y2)dx8-4y+4y2-9y)gy=4.38.求抛物线y2=2px+p2与y2=-2qx+q2（p,q>0)所围图形的面积。解联立两个抛物线方程，解得x=9=P,J=±pq，于是两抛物线所围2的面积为pp+qy2jdy=2S=dy/32gdx=(p+q)pq[p+-pgpq32p29.求四张平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0和2x+3y+z=6截的的立体的体积。解设D:0≤x≤1,0≤y≤1，利用对称性，有[[ xdxdy = [[ ydxdy ,DD于是ydy=7V = [[(6 - 2x -3y)dxdy = 610.求柱面y2+z2=1与三张平面x=0,y=x,z=0所围的在第一卦限的立体的体积。5
（9） dxdydz ( ) 1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ∫ ∫ ∫ − − − + + + = x x y x y z dz dx dy 1 0 3 1 0 1 0 (1 ) ∫ ∫ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = x dy x y dx 1 0 2 1 0 4 1 (1 ) 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + = ∫ 1 0 4 1 2 1 1 1 2 1 dx x x 16 5 ln 2 2 1 − 。 （10） zdxdydz Ω ∫∫∫ 3 0 2 0 3 1 zdz dxdy z dz h h h z = = π = π ∫ ∫∫ ∫ Ω 。 （11）∫∫∫Ω Ω = ∫ ∫∫ R z z dxdydz z dz dxdy 0 2 2 = − + − = ∫ ∫ R R R z Rz z dz z R z dz 2 2 2 2 2 0 2 2 π (2 ) π ( ) 5 480 59 πR 。 （12）∫∫∫Ω −∫ ∫∫Ω = a a x x dxdydz x dx dydz 2 2 = − = ∫− a a dx a x bc x (1 ) 2 2 2 π a bc 3 15 4 π 。 7．设平面薄片所占的区域是由直线 x + y = 2,y = x 和 x轴所围成，它的 面密度为ρ( , x y) = x 2 + y 2 ，求这个薄片的质量。 解 设薄片的质量为m，则 ∫∫ ∫ ∫ − = = + y y D m x y dxdy dy x y dx 2 2 2 1 0 ρ( , ) ( ) 3 4 ) 3 8 4 4 3 8 ( 1 0 2 3 = − + − = ∫ y y y dy 。 8. 求抛物线 y p 2 2 = 2 x + p 与 y q 2 2 = −2 x + q ( , p q > 0) 所围图形的面积。 解 联立两个抛物线方程，解得 y pq q p x = ± − = , 2 ，于是两抛物线所围 的面积为 y dy p q pq pq p q S dy dx p q pa q q y p p y pq pq ( ) 3 2 [( ) ] 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + = = + − ∫ ∫ ∫ − − − 。 9. 求四张平面 x = = 0 0 , , y x = 1, y = 1 6 所围成的柱体被平面 z = 0 和 2 3 x + +y z = 截的的立体的体积。 解 设D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1，利用对称性，有 ∫∫ ∫∫ = D D xdxdy ydxdy ， 于是 2 7 (6 2 3 ) 6 5 1 0 1 0 = − − = − = ∫∫ ∫ ∫ V x y dxdy dx ydy D 。 10. 求柱面 y 2 + z 2 = 1与三张平面 x = 0, y = x, z = 0所围的在第一卦限的 立体的体积。 5