几何解释的引伸： 。对(t,x)∈2，过该点作斜率为f(t,x)的小线段.2中所有这 些小线段的全体构成的集合称为方程(1)的线素场 ·线素场最直观的例子是条形磁铁周围的磁场：在一个细长的 具有正负两极的条形磁铁周围撒上一些短小的铁针，它们将 按照磁场的方向在磁铁周围排列.所有这些有规则排列的铁 针就构成了一个磁场所满足的常微分方程的线素场.本书不 具体建立条形磁铁的磁场满足的方程，有兴趣的同学可参 见：丁同仁、李承治的常微分方程[p.16,例3]. 张祥：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程解的几何解拜、存在和唯一性、实际模型的推易
A¤)º⁄µ È ∀(t, x) ∈ Ω, LT:ä«è f(t, x) Ç„. Ω •§k˘ Ç„ N§8‹°èêß (1) ÇÉ|. ÇÉ|ÅÜ*~f¥^/^c±å^|µ3òá[ ‰kK¸4^/^c±åg˛ò ·c, ßÇÚ UÏ^|êï3^c±å¸. §k˘ k5K¸c “§ òá^|§˜v~á©êßÇÉ|. ÷ÿ ‰NÔ·^/^c^|˜vêß, k,”ÆåΠѵ¶”;!o´£~á©êß[p.16, ~3]. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì
启发与思考： ·对于给定的微分方程，线素场的作用如何？ ●线素场可以启发我们去思考微分方程的那些问题？ 进一步理解： 。即使不知道方程的解，也可以利用线素场近似地作出某些方 程的积分曲线。 。线素场在现代微分方程的发展中起了重要的作用，它是微分 方程几何理论产生的基础元素。 例子：利用线素场作下列微分方程的积分曲线： dy dy y dy x =y+x d =2 dx -y d 张祥：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程鲜的几何解邦、存在和唯一性，实际模型的推导
ÈuÜgµ Èuâ½á©êßßÇÉ|ä^X¤º ÇÉ|å±Èu·Çgá©êß@ ØKº ?ò⁄n)µ =¶ÿêß)ßèå±|^ÇÉ|Cq/ä—, ê ß»©Ç. ÇÉ|3yìá©êßu–•Â áä^ßߥ᩠êßA¤nÿ)ƒ:É" ~fµ|^ÇÉ|äeá©êß»©Ç: dy dx = 2, dy dx = y x , dy dx = − x y , dy dx = y+x x . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì
问题：通过解的定义与上一讲的例子，引导学生思考 ·给定(to,xo)∈2，方程(1)满足初始条件x(to)=xo的解是否 存在？ ·如果初值问题的解存在，那么解是否唯一？ 注 ·上述问题导入本讲的核心内容：解的存在唯一性定理 ·以后为方便起见，将方程(1)满足初始条件x(to)=0的解也 说成方程(1)过初始点(1o,o)的解，或方程(1)过初始 点(to,xo)的积分曲线. 4口6+4之·4生+2月a0 张样：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程解的几何解拜、存在和唯一性、实际模型的推易
ØKµœL)½¬Ü˛ò˘~fß⁄Æ)g â½ (t0, x0) ∈ Ω, êß (1) ˜v–©^á x(t0) = x0 )¥ƒ 3º XJ–äØK)3, @o)¥ƒçòº 5: ˛„ØK\ ˘ÿ%SNµ)3çò5½n ±èêBÂÑ, Úêß (1) ˜v–©^á x(t0) = x0 )è `§êß (1) L–©: (t0, x0) ), ½êß (1) L–© : (t0, x0) »©Ç. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì
存在唯一性问题的历史回顾 上述问题在常微分方程的发展史上经历了很长的时间. ●法国数学家Augustin Cauchy(1789-1857)于19世 纪20年代建立了常微分方程初值问题解的存在唯一性定 理（正因为如此，初值问题又称为Cauchy问题）. 。德国数学家Rudolf Lipschitz(1832-1903)于1876年减弱 了Cauchy关于初值问题解的存在唯一性定理的条件， 口卡间+二”“生年2刀双0 张祥：上将交通大学数学系第二讲、微分方程解的几何解斯、存在和唯一性实际模型的推号
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