《数值计算》课程教学课件（讲稿）第5章 线性方程组的直接解法（2/2）

定义向量序列(x收敛于向量x提指对每一个1≤i≤n都limx(k)=x;。 可以理解为 x(k)x*l→0有 k→00定义若存在常数C>0使得对任意R"有xL≤Cx则称范数Ⅱ·比范数Ⅱ·B强。定义若范数Ⅱ·比Ⅱ·B强，同时·比Ⅱ·儿强，即存在常数C、C,>0 使得 C,IxlB≤xIL≤B，则称I ·IL和I·IlB等价。可以理解为对任何向量范数都成立。定理Rn上一切范数都等价上页下页返圆

上页 下页 返回 定义 向量序列 收敛于向量 是指对每一个1  i  n 都 有 。 { } (k ) x  x*  ( ) * lim i k i k x  x  可以理解为 || * || 0 x (k )  x    定义 若存在常数C > 0 使得对任意 有 , 则 称范数 || · ||A 比范数 || · ||B 强。 n x R  A B || x || C || x ||    定义 若范数 || · ||A 比|| · ||B 强，同时|| · ||B 也比|| · ||A 强，即存 在常数 C1、C2 > 0 使得 ，则称 || · ||A 和 || · ||B 等价。 B A B C || x || || x || C || x || 1 2      定理 Rn 上一切范数都等价。 可以理解为对任何 向量范数都成立

>矩阵范数定义Rnxn空间的矩阵范数·对任意A. BER满足(I) Il Al≥0; IA=0 台 A=0（正定性)(2) IlαAll=α}Il All 对任意αeC (齐次性)(3)A+B≤IAI+IB（三角不等式)(4)＊AB≤ⅡAⅡ·ⅡBⅡ(相容)上页下页返圆

上页 下页 返回 定义 Rnn空间的矩阵范数|| · || 对任意 满足： n n A B R  ,  (1) || A||  0; || A||  0  A 0 （正定性) (2) || A|| | ||| A|| 对任意  C (齐次性) (3) || A B|| || A||  || B|| （三角不等式) (4)* || AB ||  || A || · || B || （相容）  矩阵范数

anaina12azna21(22A=常用矩阵范数：anan2..an)含含1a,P一向量1-1l的直接推广Frobenius范数II AIIF=对方阵AeRx"以及xR"有AXl2≤lAlE·lxll2算子范数由向量范数·lp导出关于矩阵AERnxn的p范数：则 ILABII,≤II AII, IBIpII Ax I pII All,=max群4例的最大,≤IAl,IIx,X+0IxI,特征根Il A ll.=max特别有：1≤iSni=lWII A II,= max（列和范数）l≤jSni=l上页下页Il All2= /amax(A'A)（谱范数）返圆

上页 下页 返回 常用矩阵范数： Frobenius 范数    n i n j A F aij 1 1 2 || || | | — 向量|| · ||2的直接推广 对方阵 A R nn 以及 x R n 有  2 2 || Ax || || A|| || x || F     算子范数 由向量范数|| · ||p 导出关于矩阵 A  Rnn 的 p 范数: p p p x Ax A x || || || || || || max 0       则 p p p p p p Ax A x AB A B || || || || || || || || || || || ||     特别有：      n j A aij i n 1 || || max | | 1 （行和范数）     n i A aij j n 1 1 || || max | | 1 （列和范数） || || ( ) A 2 max A A T   （谱范数 ） 矩阵 ATA 的最大 特征根                n n n n n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 p x Ax p max || || | | | | 1    

例2．求矩阵A的各种常用范数03203ZA=max= max[3,4,2) = 4-.aij解：181≤i≤3j=13Z= max[2,5,2] = 5maxA=ai1≤j≤3i=1Al,= /amax (AT A)由于上页下页返回

上页 下页 返回 例2. 求矩阵A的各种常用范数              0 1 1 1 2 1 1 2 0 A 解: 1 A     3 1 1 3 max i ij j a 2 5 2 3 4 2  max{2,5,2}  A     3 1 1 3 max j ij i a  max{3,4,2} 2 A ( ) max A A T 由于    4  5