3.1不等关系与不等式 山理解粉新用析材新师自通 知识点 「不等关系与不等式 [提出问题 在日常生活中,我们经常看到下列标志: s0(0o 7:30-10:00 问题1:你知道各图中的标志有何作用吗?其含义是什么? 提示:①最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里 ②限制重量:装载总重量G不得超过10t ③限制高度:装载高度h不得超过3.5 ④限制宽度:装载宽度a不得超过 ⑤时间范围:t∈[7.5,10] 问题2:你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示? 提示:①v≥50;②C≤10:③h≤3.5;④a≤3;⑤7.5≤t≤10 [导入新知] 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式,以表示 它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式 [化解疑难] 1.不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等 式则是表示两者的不等关系,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表 示,不等关系是可以通过不等式来体现的 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于等于,至少,小于等于,至多 大于,高于,超过小于,低于,少于 语言 不低于 不多于,不超过 符号 ≤ 语言
3.1 不等关系与不等式 不等关系与不等式 [提出问题] 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题 1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？ 提示：①最低限速：限制行驶时速 v 不得低于 50 公里； ②限制重量：装载总重量 G 不得超过 10 t； ③限制高度：装载高度 h 不得超过 3.5 m； ④限制宽度：装载宽度 a 不得超过 3 m； ⑤时间范围：t∈[7.5,10]． 问题 2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. [导入新知] 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示 它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． [化解疑难] 1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等 式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表 示，不等关系是可以通过不等式来体现的． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少， 不低于 小于等于，至多， 不多于，不超过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤
知识点二 两实数大小的比较 [提出问题] 实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一个实数,且右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大 问题1:怎样判断两个实数a,b的大小? 提示:若a-b是正数,则a>b;若a-b是负数, 则&b;若a-b是零,则a=b 问题2:你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法? 提示:能.通过两个实数作差,判断差的正负比较大小 [导入新知] 比较两个实数a,b大小的依据 文字语言 符号表示 如果a>b,那么a-b是正数 a> bea-b0 如果a<b,那么a-b是负数 abe a-Ko 如果a=b,那么a-b等于0, a=be a-b=0 反之亦然 [化解疑难] 1.上面的“台”表示“等价于”,即可以互相推出 2.“台”右边的式子反映了实数的运算性质,左边的式子反映的是实数的大小顺序, 二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系 知识点三 不等式的基本性质 [提出问题] 问题1:若ab,砂C,则aC,对吗?为什么? 提示:正确.∵ab,bc, (a-b+(b-c)>0,即a-c>0. a>c 问题2:若a>b,则a+c>b+C,对吗?为什么? 提示:正确.∵a>b, ∴a-b>0
两实数大小的比较 [提出问题] 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大． 问题 1：怎样判断两个实数 a，b 的大小？ 提示：若 a－b 是正数，则 a＞b；若 a－b 是负数， 则 a<b；若 a－b 是零，则 a＝b. 问题 2：你能否由问题 1 得出两个实数比较大小的方法？ 提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小． [导入新知] 比较两个实数 a，b 大小的依据 文字语言 符号表示 如果 a＞b，那么 a－b 是正数； 如果 a＜b，那么 a－b 是负数； 如果 a＝b，那么 a－b 等于 0， 反之亦然 a>b⇔a－b>0 a<b⇔a－b<0 a＝b⇔a－b＝0 [化解疑难] 1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出． 2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序， 二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系． 不等式的基本性质 [提出问题] 问题 1：若 a>b，b>c，则 a>c，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a>b，b>c， ∴a－b>0，b－c>0. ∴(a－b)＋(b－c)>0，即 a－c>0. ∴a>c. 问题 2：若 a＞b，则 a＋c＞b＋c，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a＞b， ∴a－b＞0， ∴a＋c－b－c＞0
即a+c>b+ 问题3:若a>b,则aC>bc,对吗?试举例说明 提示:不一定正确.若a=2,b=1,c=2时正确.c=-2时不正确 [导入新知] 不等式的性质 (1)对称性:abea (2)传递性:Bb,bc→BC; (3)可加性:ab→a+Cb+c 推论(同向可加性) →a+c>b+d C (4)可乘性:bB>be ab→abc C>0 推论(同向同正可乘性 →aC>bd C>d>0 (5)正数乘方性:ab0→a>b(n∈N,n≥1) (6)正数开方性:ab0=√ayb(n∈N,n≥2) [化解疑难] 1.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件 2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性 ②突破考题型用向考不离其 题型 用不等式(组)表示不等关系 [例1]某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9 名驾驶员.此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次, 乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式 解]设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆.由题意得
即 a＋c＞b＋c. 问题 3：若 a＞b，则 ac＞bc，对吗？试举例说明． 提示：不一定正确．若 a＝2，b＝1，c＝2 时正确．c＝－2 时不正确． [导入新知] 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. 推论(同向可加性)： a>b c>d ⇒a＋c>b＋d. (4)可乘性： a>b c>0 ⇒ac>bc； a>b c<0 ⇒ac<bc. 推论(同向同正可乘性)： a>b>0 c>d>0 ⇒ac>bd. (5)正数乘方性：a>b>0⇒a n >b n (n∈N *，n≥1)． (6)正数开方性：a>b>0⇒ n a> n b(n∈N *，n≥2)． [化解疑难] 1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 用不等式(组)表示不等关系 [例 1] 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次， 乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式． [解] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆．由题意得
x+y≤9 x+y≤9, 10×6x+6×8y≥360, 5x+4y≥30, 0≤x≤4 0≤x≤4,0≤K≤7, 0≤K≤7, x∈N,y∈N. x∈N,y∈N [类题通法] 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系 (2)找出体现不等关系的关键词:“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超 过”“不超过”等.用代数式表示相应各量,并用关键词连接.特别需要考虑的是 “≤”“≥”中的“=”能否取到 [活学活用] 用不等式(组)表示下列问题中的不等关系: (1)限速80km/h的路标 (2)桥头上限重10吨的标志; (3)某酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%,蛋白质的含量p不少 于2.3%. 解:(1)设汽车行驶的速度为vkm/h,则v≤80 (2)设汽车的重量为a吨,则≤10 题型 比较两数(式)的大小 [例2]比较下列各组中两个代数式的大小 (1)x2+3与2x (2)已知a,b为正数,且a≠b,比较a+b与ab+ab2的大小. [解](1)(x2+3)-2x=x2-2x+3 (x-1)2+2≥2>0, ∵x2+3>2 (2)(a+b)-(ab+ab)=a+b-db-ab=a(a-b)-b(a-b)=(a-b(a-B) (a-b)2(a+b) ∴a>0,b>0,且a≠b, (a-b)2>0,a+b>0 d+b)-(ab+ab)>0
x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4， 0≤y≤7， x∈N，y∈N， 即 x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 0≤x≤4，0≤y≤7， x∈N，y∈N. [类题通法] 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系． (2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超 过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是 “≤”“≥”中的“＝”能否取到． [活学活用] 用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/h 的路标； (2)桥头上限重 10 吨的标志； (3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%，蛋白质的含量 p 不少 于 2.3%. 解：(1)设汽车行驶的速度为 v km/h，则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10. (3) f≤2.5%， p≥2.3%. 比较两数(式)的大小 [例 2] 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3 与 2x； (2)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a 3＋b 3 与 a 2 b＋ab 2 的大小． [解] (1)(x 2＋3)－2x＝x 2－2x＋3 ＝(x－1) 2＋2≥2＞0， ∴x 2＋3＞2x. (2)(a 3＋b 3 )－(a 2 b＋ab 2 )＝a 3＋b 3－a 2 b－ab 2＝a 2 (a－b)－b 2 (a－b)＝(a－b)(a 2－b 2 )＝ (a－b) 2 (a＋b)． ∵a＞0，b＞0，且 a≠b， ∴(a－b) 2＞0，a＋b＞0. ∴(a 3＋b 3 )－(a 2 b＋ab 2 )＞0
即a+b3>ab+ab [类题通法] 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子)作差 (2)变形:对差进行变形 (3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号 (4)作出结论 这种比较大小的方法通常称为作差比较法.其思维过程是作差→变形→判断符号→结 论,其中变形是判断符号的前提 [活学活用] 试判断下列各对整式的大小: (1)d2-2m+5与-2m+5 (2)x+6x与x+6. 解:(1)(m2-2m+5)-(-2m+5) =m-2m+5+2m-5=m ∵m≥0,∴(m-2m+5)一(-2m+5)≥0 n2-2m+5≥-2m+5 (2)(x2+6x)-(x2+6) x3-x2+6x-6 x(x-1)+6(x-1) =(x-1)(x2+6) ∴当x>1时,(x-1)(x2+6)>0, 当x=1时,(x-1)(x2+6)=0, 即x+6x=x+6. 当x<1时,(x-1)(x2+6)<0, 即x2+6x<x2+6. 题型三 不等式的性质 [例3]已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证: 证 又∵a>b>0
即 a 3＋b 3＞a 2 b＋ab 2 . [类题通法] 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程是作差→变形→判断符号→结 论，其中变形是判断符号的前提． [活学活用] 试判断下列各对整式的大小： (1)m 2－2m＋5 与－2m＋5； (2)x 3＋6x 与 x 2＋6. 解：(1)(m 2－2m＋5)－(－2m＋5) ＝m 2－2m＋5＋2m－5＝m 2 . ∵m 2≥0，∴(m 2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0， ∴m 2－2m＋5≥－2m＋5. (2)(x 3＋6x)－(x 2＋6) ＝x 3－x 2＋6x－6 ＝x 2 (x－1)＋6(x－1) ＝(x－1)(x 2＋6)． ∵x 2＋6＞0， ∴当 x＞1 时，(x－1)(x 2＋6)＞0， 即 x 3＋6x＞x 2＋6. 当 x＝1 时，(x－1)(x 2＋6)＝0， 即 x 3＋6x＝x 2＋6. 当 x＜1 时，(x－1)(x 2＋6)＜0， 即 x 3＋6x＜x 2＋6. 不等式的性质 [例 3] 已知 a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： e a－c ＞ e b－d . 证明：∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0