二、导数应用 研究函数的性态 增减,极值,凹凸,拐点,渐近线, 2.解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别向问题 3.其他应用:求不定式极限;证明等式; 证明不等式;研究方程实根等
二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 ,拐点 ,渐近线 , 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ;证明等式; 证明不等式 ; 研究方程实根等
例7.填空题 (1)设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续, 其导数图形如图所示则f(x)的 单调减区间为(=,x),(0,x2) X 单调增区间为(x,O),(x2,+∞) 极小值点为x,x2 极大值点为x=0 f(x) 提示:根据f(x)的连续性及导函数 的正负作f(x)的示意图 X10 2 x
的连续性及导函数 例7. 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . f (x) ( , ), (0, ) 1 2 − x x ( , 0), ( , ) x1 x2 + 1 2 x , x x = 0 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; o 2 x 1 x y x o x f (x) 1 x 2 x
(2)设函数f(x)在(-∞,+∞)上可导, ∫"(x)的图形如图所示,则函数f(x)的图 f"(x) 形在区间(x1,0)(x2,+∞)上是凹弧 x1;O/2 在区间(=∞2x1),(0,x2)上是凸弧; 拐点为 (x1,f(x1),(x2,f(x2),(02,f(0) f(x) 提示:根据f(x)的可导性及/(x)xd2 的正负作f(x)的示意图
o f (x) x . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 ( , ), (0, ) 1 2 − x x ( , ( )) , ( , ( )), (0, (0)) 1 1 2 2 x f x x f x f 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数 的图形如图所示, ( , 0), ( , ) x1 x2 + f (x) o 2 x 1 x y x 2 x 1 x
例8证明(x)=(1+1)在(0,+∞)上单调增加. 证:1nf(x)=xln(1+1) x[In (+x)-Inx f'(x)=(1+-)[ln(1+x)-1nx X 1+x 令F()=lnt,在[x,x+1上利用拉氏中值定理,得 In(1+x)In x (0<x<5<x+1 1+x 故当x>0时(x)>0,从而f(x)在(0,+∞止上单调增
( ) [ln(1 ) ln ] ( ) 1 f x x x f x = + − 例8. 证明 在 上单调增加. 证: ln ( ) ln(1 ) 1 x f x = x + = x [ ln(1+ x) − ln x] 令 F(t) = lnt , 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, ] 1 1 1 [ x x x − + + (0 1) 1 ln(1+ x) − ln x = x x + 故当 x > 0 时, 从而 在 上单调增. 得
小9.证明n(1+x)> arctan (x>0) x 证:设9(x)=(1+x)ln(1+x)- arctan x则(0)=0 q(x)=1+ln(1+x) >0(x>0 1+x 故x>0时,(x)单调增加从而y(x)>9(0)=0 即n(1+x)> arctan (x>0) 思考:证明 I-x In(1+x) (0<x<1)时,如何设辅助 +x arcsinx 函数更好? 提示:g(x)=(1+x)ln(1+x)-√1-x2 arcsin x
例9. 证明 ( 0). 1 arctan ln(1 ) + + x x x x 证: 设 (x) = (1+ x)ln(1+ x) − arctan x , 则 (0) = 0 2 1 1 ( ) 1 ln(1 ) x x x + = + + − 0 (x 0) 故 x 0 时, (x) 单调增加 从而 (x) (0) = 0 即 ( 0) 1 arctan ln(1 ) + + x x x x 思考: 证明 (0 1) arcsin ln(1 ) 1 1 + + − x x x x x 时, 如何设辅助 函数更好 ? (x) (1 x)ln(1 x) 1 x arcsin x 2 提示: = + + − −