例1n维向量组 e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),,en=(0,0,…1)2 称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性. 解n维单位坐标向量组构成的矩阵 I=(e,e2,.,en) 是n阶单位矩阵. 由1=1≠0，及定理2的推论知， n维单位坐标向量组线性无关。 或r(①=n,得线性无关。 上页 返回
n 维向量组 ( ) ( ) ( ) T n T T e 1,0, ,0 ,e 0,1, ,0 , e 0,0, ,1 1 = 2 = ， = 称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 . ( , , , ) 1 2 是 阶单位矩阵 维单位坐标向量组构成的矩阵 n I e e e n = n 由 I = 1 0， 例１ 及定理 2的推论知， n维单位坐标向量组线性无关。 或r(I)=n，得线性无关
例2 己知 01 = c2= 025 03= 24 试讨论向量组a a3及a1,a2的线性相关性 解分析 对矩阵（a1,a2,a3),施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵(a1,ax2,a3) 及（a,a2)的秩，利用定理2即可得出结论. 上页 返回
， ， ， = = = 7 4 2 5 2 0 1 1 1 1 2 3 . 试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性 解 2 . , 1 2 1 2 3 1 2 3 及（ ， ）的秩，利用定理 即可得出结论 成行阶梯形矩阵 可同时看出矩阵（ ， ， ） 对矩阵（ ， ， ），施行初等行变换变 例２ 已知 分析
1 0 2 12(-1) 10 2 (a1,a2,c3)= h3(-1) 5 25 多人 10 2 02 2 (0 0 0 可见r(a1,a2,a3)=2,故向量组a1,a2,a3线性相关； r(a1,2)=2,故向量组a1,a,线性无关， 上页 返回
= 1 5 7 1 2 4 1 0 2 ( , , ) 1 2 3 ~ ) 2 5 ( r23 − ， 0 0 0 0 2 2 1 0 2 ( , ) 2, , . ( , , ) 2 , , 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 故向量组 线性无关 可见 ，故向量组 线性相关； = = r r ~ ( 1) ( 1) 12 13 − − r r 0 5 5 0 2 2 1 0 2
「3 例3：设向量组= 2，a2= ,a3 0 -1 31+ 问取何值时，向量组线性无关取何值时， 向量组线性相关 3 5 3 解：因为 a az 03= 241 =2t-3 0 -1t 所以，当1≠3 时，向量组ax,a,a,线性无关 2 t=3时，向量组ax,a,a,线性相关 2 上页 返回
. , ; , 1 , 3 , 1 4 5 , 0 2 3 3 : 1 2 3 向量组线性相关 问 取何值时向量组线性无关 取何值时 例 设向量组 t t t = − = = 2 3 0 1 2 4 1 3 5 3 1 2 3 = − − = t t 解：因为 , . 2 3 , ; 2 3 , 1 2 3 1 2 3 时 向量组 线性相关 所 以 当 时 向量组 线性无关 = t t
例4己知向量组a1,02,a3线性无关，b,=a1+a2, b2=a2+3,b3=a3+a1,试证b1,b2,b3线性无关 证法1设有x1,x2,x使 x1b1+x2b2+x3b3=0 即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0, 亦即(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0, 因a,a2,a,线性无关，故系数必詮为零，即有 x1+x3=0, x1+x2=0, x2+x3=0. 上页 返回
, , , , . , , , , 2 2 3 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 试 证 线性无关 已知向量组 线性无关 b b b b b b = + = + 例 4 = + 0 , , 1 1 2 2 3 3 1 2 3 x b + x b + x b = 设有x x x 使 ( ) ( ) 0, 即 x（1 1 + 2）+ x2 2 + 3 + x3 3 + 1 = ) ( ) ( ) 0, 亦即（x1 + x3 1 + x1 + x2 2 + x2 + x3 3 = 因1，2，3线性无关，故系数必需全为零，即有 + = + = + = 0. 0, 0, 2 3 1 2 1 3 x x x x x x 证法1