第三节直线及其方程 解向量正=(-3,1,0)是所求直线的一个方向向量，因此所求直线方程为 号。 0 三、直线与平面的关系 1.两直线的夹角 两直线的方向向量之间的夹角（通常取小于等于90°的角）称为两 直线的夹角，即(1,2)=(s1,s2)或(1,2)=(-51,2)=T- (s1,s2)两者中小于等于90°的角 .x-=yy1- 设4：m1nP ,其中s1=(m1,n1,P1),M,(x1, 直线与平面关系 y1,31）∈l1, 4:-=2-,其中=(m,P2人，(，2)e4, m2 n2 P2 则 s1·S2 cos(h.)=Ts:s2 mimzn+pipz m+n+√m+n+p 当1,142时（见图5-42），应有 m1m2+n1i2+p1P2=0 当L1//儿2时（见图5-43），应有 n2 P2 图5-42 图5-43 例4求直线：中和直线：号子的夹角 解已知直线的方向向量s1=(1,-4,1),直线2的方向向量s2=(2,-2,-1),则 清号 放)=子 .27
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第五章向量与空间解析几何 例5求过点(-3,2,5)且与两平面x-4=3和2x-y-5z=1的交线平行的直线方程 解设所求直线的方向向量为s=(m,m,p),平面x-4k=3的法向量为n1=(1,0,-4), 平面2x-y-5z=1的法向量为n2=(2,-1,-5),根据题意知s11,s12,取 ii k s=n1×n2=10-4=(-4,-3,-1), 2-1-5 故所求直线的方程为 x+3=y-2=-5 43-1 例6求过点w2,13)且与直线：一垂直相交的直线方程。 3 解先作一过点M且与已知直线垂直的平面Ⅱ，即 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0. 再求已知直线与该平面的交点N. 令+，=1，则 3 x=3t-1 y=2+1, 代人平面方程得=，交点号动 取所求直线的方向向量为MN,即 m号-2号 7 1,、3 24 7 7(2,-1,4), 所求直线方程为 -2=y-1=-3 -14 2.直线与平面的夹角 直线1和它在平面π上的投影直线1，所构成的角称 为该直线与平面的夹角（见图5-44），记为9 0≤9<号} 图5-44 当直线与平面垂直时，规定φ=受 设直线1：-0-y力-÷- m n ,s=(m,n,p),平面n:Ax+By+Ca+D=0, p n=(d,80,则e=号-(m,因此 sin leos(s.n) Am Bn Cp √+B2+C√m2+n2+p2 当l/Ⅱ时，s⊥n,即有 Am Bn Cp=0. 28
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第三节直线及其方程 当l上Ⅱ时，s/n,即有 ABC m-nP 例7设省线：号千，平面Ⅱ：-7+2=3，求直线1与平面n的 夹角p. 解平面Ⅱ的法向量n=(1,-1,2),直线L的方向向量s=(2,-1,2),则 Am Bn Cp =1×2+(-1)×(-1)+2×2=76 √+B2+Cm2+n2+p 6·⑨ 18 所以p=aresin18 76为所求夹角。 四、平面束 通过定直线的平面的全体称为过该直线的平面束，有时候用平面束解题非常方便，现 在我们来介绍它的方程. 设直线1：A+By+C:+0=0, Azx+B2y +Caz+D2=0, 其中系数A、B、C,与A2、B2、C2不成比 例，入1，入，u为任意常数，则过该直线的平面束方程为 A1(A1x+B1y+C12+D1)+(42x+B2y+C22+D2)=0, (3) 变 A1x+B1y+C12+D1+A(A2x+B2y+C2:+D2)=0, (4) 注意：若式(3)中入1≠0，则可将式(3)写成式(4)；但式(4)中并不包括平面 A2x+B2y+C22+D2=0. 例8一平面过直线二0，。和点1,1，-1)，求该平面方程。 x-y/+z-1=0 解设过已知直线的平面束为 x+y-a+入(x-y+z-1)=0, 义点（山，1，-）洞足方程，即由1+1-(~)+A1-1-1-)=0,得A=3,因此 所求平面方程为 3 x+y-:+之(x-y+&-1)=0,即5x-y+z-3=0. 例9过填线+：：0作面几，使它垂直于平面血：+2+：=0一 解设过直线L的平面束的方程为(x+2y-z-6)+A(x-2y+z)=0,即 (1+入)x+2(1-入)y+(入-1)z-6=0. 现要在上述平面束中找出一个平面Ⅱ，使它垂直于题设平面Ⅱ，故平面Ⅱ的法向量n 垂直于平面Ⅱ，的法向量n1=(1,2,1).于是n·n1=0,即 (1+入)+4(1-入)+（入-1）=0， ·29
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第五章向量与空间解析几何 解得入=2，故所求平面方程为 1:3x-2y+z-6=0. 容易验证，平面x-2y+。=0不是所求平面 例10在一切过直线： 区+y+:+4=0,的平面中找出平面Ⅱ，使原点到它的距 (x+2y+z=0 离最长. 解设通过直线1的平面束方程为(x+y+z+4)+(x+2y+z)=0,即 (1+A)x+(1+2λ)y+(1+A)z+4=0. 16 要使d(入)= 1+A2+(1+2)2+1+A疗为最大， 即使1+A2+(1+2)2+1+A2=6+》+写为最小，得A=子 故所求平面Ⅱ的方程为 x-y+z+12=0. 易知，原点到平面x+2y+x=0的距离为0，故平面x+2为十z=0非所求平面. 例1一平面过直线任+5y0,且与平面，+12=0成牙角，求该平 x-a+4=0, 面的方程 解设过已知直线的平面束为A(x+5+)+4(x-z+4)=0,即 (A+u)x+5y￥(-a)z+4μ=0， 已知 cos I(A+)×+5入×(-4)+(A-4)×(-8)1 V(A+4+(5)2+(A-u)212+(-4)2+(-8)21 即 -27λ+9μ 答或3A+心-或9+124=0，即A(3A+4如)三0，得 927λ2+2μ2 2 27λ2+22 4 入1=0，A2=- “,因此所求平面为 x-8+4=0或x+20y+7z-12=0. 习题5-3 1.求满足下列条件的直线方程. 过点2.1，)且与直线号六-平行： (2)过点(2，-3,5)且与平面9x-4y+2z-1=0垂直： (3)过点(3,4，-4)和(3，-2,2). 30·
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第三节直线及其方程 2.求过点(1,1,1)且同时与平面2x-y-3z=0和x+2y-5z=1平行的直线方程. 3。用点向式方程及参数方程表示直线任+2y-6=0, 2x-y+z-1=0. 4求过点(1,0，-2)且与平面3x+4y-:+6=0平行，又与直线-3-+2.三 1 4 垂直的直线方程. 5.确定下列各组中的直线和平面间的位置关系 号和= (②)2=号和3x-2+7=8: （3):2=y+2-3和x+3+=3. 3 1-4 6求直线：+y+3:=0, 和平面x-y-z+1=0的夹角 (x-y-z=0 7.求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离 8求直线/2x-4+:=0. 在平面4x-y+=1的投影直线方程. (3x-y-2z-9=0 9.求过点M(3,1,-2)及直线*二4寸3兰的平面方程 10.求过直线-2-y+1-2 2 且与平面x+4y-3:+7=0垂直的平面方程 4 11.已知直线过点A(2,一3,4)人且和y轴垂直相交，求该直线方程， 12.求过点(0,2.4与直线+2：=l,平行的直线 y-3z=2 1求点八(2,3看直线1：：2：2上的段影 2 3 14.求点P(3,-1,-1)在平面Ⅱ：x+2y+3z-40=0上的投影 15求过点41.0.-2》，且与平面：款-y+2+3=0平行，并与直线4：号 号。片相交的直线的方程 16.分别求过直线：x+4-2z-10=0 2x-3y+4z-12=0, 且垂直于各坐标面的平面方程，并求 直线l在平面3x+2y+z-10=0上的投影. 1过点M(73,5)引方向余弦等于日、号号的直我4，设直线1过点 M,(2,-3,-1),与直线4，相交且和x轴成T角，求直线1的方程. 31
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