第五章向量与空间解析几何 当Ⅱ/Ⅱ2时（见图5-37），有 A B1 C n,/n台AB:G 者山，与m重合，哈-是会品 当Ⅱ11Ⅱ2时（见图5-38），有 n1⊥n2台A1A2+B1B2+C1C2=0 图5-37 图5-38 例5研究以下各组里两平面的位置关系 (1)Ⅱ1：-x+2y-z+1=0,Ⅱ2：y+3z-=0; (2)Ⅱ1：2x-y+2-1=0,Ⅱ2：-4x+2y-22-1=0 解(1)因为Ⅱ1与Ⅱ2的法向量分别为m(-1,2,-1),2=(0,1,3),且 1-1×0+2×1-1×31 1 √(-1)3+22+(-1)2.√12+32√60 故两平面相交，夹角为 6=arccos- 60 (2)因为Ⅱ，与T2的法向量分别为n1=(2,-1,1),n2=(-4,2,-2),且 一42=一2即对应坐标成比例。 2 -11 又M(1,1,0)∈Ⅱ1，M(1,1,0)Ⅱ2，故两平面平行但不重合. 例6求平面Ⅱ，使其满足： (1)过z轴： (2)Ⅱ与平面2x+y-5:=0的夹角为号 解因为平面Ⅱ过：轴，可设其方程为x+B=Q又因为Π与已知平面夹角为？，故 cosπ=12A+B+(-5)·01 1 N+B2+0V2+12+(-5)2' 从而B=3A或B=- 3A,所以 ·22
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第二节平面及其方程 Ⅱ：x+3y=0或Ⅱ：3x-y=0. 例7一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求 该平面方程 解M,M=(0-1,1-1,-1-1)=(-1,0,-2),根据题意，可取n=MM×m1,其 中n1为已知平面x+y+z=0的法向量，n1=(1,1,1),故 ij k -10-2=(2,-1,-1) 111 因此所求平面方程为 2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即2x-y-名=0 2.点到平面的距离 设Po(x0,0,0)为平面Ax+By+C2+D=0外的一 d=PriPP 点，在平面上任取一点P(x1,1,1)(见图5-39)，则 点P。到平面的距离d就是P,P。在n(n=(A,B,C))上 图5-39 的投影的绝对值，即d=|Pri.P1P。 注意到Ax1+By1+C21+D=0,故 4=P防.PR1=n.14(-4。-)+c-l n 、2+B2+C网 IAxo Byo Czo-Ax1 -ByG Axo Byo Cso+Dl √P+B2tQ √A2+B2+C2 比如，我们可以利用公式计算点P(2,1,1)到平面x+y-2+1=0的距离： 422+1-1+L-3 =3 2+12+(-1)25 例8求两平行平面Ⅱ：10x+2y-2:-5=0和Ⅱ2：5x+y-1=0之间的 距离d 解可在平面Ⅱ，上任取一点，该点到平面Ⅱ，的距离即为这两平行平面间的距离， 为此，在平面Ⅱ2上取点(0,1,0)，则 4=10×0+2×1+(-2)×0-51.3=3 W102+2+（-2)7 √1086 习题5-2 1.填空题 (1)过原点且与向量a=(3,1,-1)垂直的平面方程为 (2)平面x+2y+kx+1=0与向量a=(1,2,1)垂直，则k= (3)过点M(2,0,-1),且与向量a=(2,1,-1)、b=(3,0,4)平行的平面方程 ·23
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第五章向量与空间解析几何 为 2.指出下列平面位置的特点，并画出各平面. (1)2x+a+1=0: (2)y-z=0; (3)x+2y-名=0： (4)9y-1=0: (5)x=0: (6)2x+z=0. 3.求满足下列条件的平面方程. (1)过点M(1,1,1)且与平面3x-y+2z-1=0平行： (2)过点M(1,2,1)且同时与平面x+y-2z+1=0和2x-y+8=0垂直； (3)与x、y、z轴的交点分别为(2,0,0)，(0，-3,0)和(0,0，-1)； (4)通过x轴且经过点(1,2，-1)： (5)垂直于两平面x-y+2-1=0,2x+y+z+1=0且通过点(1，-1,1)； (6)平行于向量a=(2,1,-1)且在x轴、y轴上的截距依次为3和-2. 4.求经过两点(4,0，-2)和(5,1,7)且与x轴平行的平面方程 5.求过点A(1,1,-1)和原点且与平面4x+3y+:=1垂直的平面方程 6.求过z轴和点M(-3,1,2)的平面方程. 7.求过三点A(2,3,0)、B(-2,-3,4)和C(0,6,0)的平面方程 8.一平面过点A(1,-4,5)且在各坐标轴上的截距相等，求它的方程 9.设平面过原点及点(6，-3,2)且与平面4xy+2x=8垂直，求此平面方程 10.求平行于平面6x+y+6:+5=0且与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位 的平面方程 X入 1.若平面x+的-2：=0与平面2二3+=0的夹角为牙，求k的值。 12.求经过两点M1(3,-2,9)和M(-6,0,-4)且与平面2x-y+4z-8=0垂直的 平面的方程 13.求平面5.x-14y+2a8=0和x0y面的夹角 14.求通过：轴且与平面2x+y-5:-7=0的夹角为牙的平面的方程。 15.推导两平行平面Ax+By+C:+D:=0,i=1,2之间的距离公式：并求将两平行平 面x-2y+z-2=0与x-2y+z-6=0之间距离分成1：3的平面方程 16.证明：过不在一直线上三点(x,y,),i=1,2,3的平面方程为 x-x1y-y1名-31 x2-x12-13-31=0 x3-X13-y13-31 并写出过(1,1，-1)，(-2，-2,2)，(1，-1,2)三点的平面方程 第三节直线及其方程 [课前导读] 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程一曲线方程的 24
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第三节直线及其方程 概念.同样，在空间解析几何中，任何曲线都可以看作满足一定几何条件的动点的轨迹， 动，点的轨迹用方程组来表示，就得到曲线方程的概念 空间直线是最简单的空间曲线，在本节中我们将以向量为工具讨论空间直线 一、空间直线一般方程 任一空间直线L都可以看作是两个相交平面的交线（见图5-40）.若平面Ⅱ，的方程为 A1x+By+C2+D,=0,平面Ⅱ2的方程为A2x+B2y+C22+D,=0, 则方程组 (Ax+Biy +Cz+D=0, (1) Azx +B2y C2z+D2=0 表示空间直线L的方程，称为空间直线的一般方程。 例1(1)求过点(-3,2,5)，且分别与平面2x-y-5z= 和x-4=3平行的平面Ⅱ，与Ⅱ2的方程 (2)求平面Ⅱ1与Ⅱ2的交线方程 解(1)先求过点(-3,2,5)且与已知平面平行的平面， 图5-40 平面Ⅱ，的法向量可取为n1=(2,-1,-5))故过点 (-3,2,5)且以n1为法向量的平面方程为 Ⅱ1：2(x+3)-(2)-5(:-5)=0. 平面Ⅱ2的法向量可取为2=(1,0,4X,故过点(-3,2,5)且以2为法向量的 平面方程为 Ⅱ2：x+3)-4(z-5)=0. 即Ⅱ1：2x-y-5z+33产0,2：x-4z+23=0. (2)所求直线的一般方程为 2x-y-5x+33=0, (x-4z+23=0. 二、对称式方程及参数方程 由立体几何知道，过空间一点作平行于已知直线的直线是唯一的.因此，如果知 道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确定，现在根据 这个几何条件来建立直线的方程. 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的方向向量.直线上的 任何一个向量都平行于方向向量.显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相 平行 由于过空间一点可作且只能作一条直线平行于已知向量，故给定直线上的一点 M(x0,o,0)及一个方向向量s=(m,n,p),直线的位置就完全确定了（见图5-41）. 如果M(x,y,z)为直线l上任意一点，则M/s,即有 ·25·
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第五章向量与空间解析几何 x-0=y-y0=名-0 (2) m p M 式(2)是含有未知数x、y、z的方程组.从上面推导可 广Mo 知，直线1上任意一点M(x,y,z)的坐标满足式(2).反 之，如果点M(x,y,z)不在直线上，那么向量Mo与s就 不平行，于是点M(x,)的坐标就不会满足式(2).由 此可知此式即为直线的方程称为直线的对称式方程，也 图5-41 称点向式方程.这里s=(m,n,p)的三个坐标m、n、p就 称为方向数，而s的方向余弦就叫作该直线的方向余弦。 [x =x0 +mt, 若设二-二力=二=1，则有直线的参数方程)=0+， m n D 3=0+pt. 注在式(2)中，若有个别分母为零，应理解为相应的分子也为零.例如，m=0 (n≠0，p≠0)，即式(2)为 -0-y0=0 0 时，上式应理解为 x-x0三0， y-0X8-0 n p 例2用点向式方程或参数方程表示直线x+y+:+1:0, (2x-y+3z+4=0. 解令x0=1,代入方程得 y+2=-2. (-y+3z=-6, 解得y=0,z=-2,即得到该直线上的一点M(1,0,-2),由于直线的方向向量s与相交 平面的法向量n1=(1,1,1),2=(2,-1,3)都垂直，故可取 i方k 5=m1×2=111=(4,-1,-3), 2-13 因此直线的点向式方程为 x-1 y z+2 4 -1-3 直线的参数方程为 [x=1+4, y=-t, z=-2-3. 例3求过点A(1,0,1)和B(-2,1,1)的直线方程 ·26
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