第五章向量与空间解析几何 1保求通过点(2,1,3)且与直线兮：片=片垂直相交的直线方程 3 ⑧求证：两直线1：”在同平面0 n n2 P2 x2-x1y2-y132-31 的条件为 =0. m2 n2 P2 20一线过点山，2.，又与线子=y=:湘胶.且睡直于线"；方=中' 求该直线方程 21.一直线1过点A(-3,5,-9)且与两直线1 y=3x+5:8=5x+0 y=4x-7,相 (z=2x-3, 交，求此直线方程 2.设直线1：-0=y-0=-0,其钟5=(mp),(o,0,0),直线1 m n 外一点为M,(x1,),证明：点M,到直线1的距离为d IM,M×s s 23.设直线：-y二1-二之其中5(m1,）,M(,1,), m11P1 直线2：-二2=2，其球(m2,）,M,(,2,),证明：异面 m2 n2 P2 直线与4之间的距离为，(9，×，川 /s1×s2 24.设直线l1:4 2=y+7-二7，试求 (1)直线11、12之间的距离： (2)直线1与2的公垂线方程 第四节曲面与曲线 [课前导读] 本节介绍曲面与曲线方程概念，主要围绕下面两个基本问题：(1)已知曲面与曲线上 点的几何特征，建立方程：(2)已知曲线与曲面上的点的坐标所满足的方程，研究曲面与 曲线的形状和性质，我们着重介绍一些常见的曲面与曲线及其方程， 32
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第四节曲面与曲线 一、曲面方程的概念 任何曲面都可以看作是满足一定几何条件的动点的轨迹，从而得到了曲面方程的概念 定义1如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0满足 zt F(xy.2)0 下列关系： (1)曲面S上的任一点的坐标都满足方程： (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 则称F(x,y,)=0为曲面S的方程，而曲面S称 为方程F(x,y,z)=0的图形（见图5-45）. 我们要研究的两个基本问题如下 (1)已知曲面作为点的轨迹时，建立这曲面的方程； (2)已知一个三元方程，研究该方程所表示的几何 图形，即曲面形状，着重介绍一些常见的曲面. 图5-45 先讨论第一个基本问题：建立几种常见的曲面方程， 若空间一动点到定点的距离为定值，则该动点的轨迹称为球面，定点叫作球心，定值 叫作半径 例1建立球心在点M(x0,0,0),半径为R的球面的方程 解本题实质是求到定点M(x0,yo,p人的距离为定长R的点的轨迹方程，即球面 的方程 设M(x,y,z)是球面上任意一点，则有1MoM=R,即 √(x天0)40-ya)2+(z-0)尸=R 或 (x0)2+(y-0)2+(:-0)2=R2 例2求与原点0及M(2,3,4)的距离之比为1：2的点的全体所组成的曲面方程. 解设M(x,y,)是曲面上任一点，根据题意有 1M0171 x2+y2+z2 1 1MMo1=2,即 x-2)2+(y-3)2+-42, 故所求方程为 +*13++-6 (+22 9 例3求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的几何轨迹 解设M(x,y,z)是所要求的曲面上任意一点，则由题意有 (x-1)2+(y-2)2+(:-3)2=(x-2)2+(y+1)2+(2-4)2, 化简得 2x-6y+2z-7=0 由方程可知，这是一个平面. 以上是从已知曲面（轨迹）建立其方程，再看两个由已知方程研究它所表示的曲面的 ·33
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第五章向量与空间解析几何 例子 例4方程x2+y2+2-2x+4y=0表示什么样的曲面 解原方程可写成如下形式 (x-1)2+(y+2)2+2=5. 可看出它表示球心在点M(1,-2,0),半径R=5的 球面 例5方程：=(x-1)2+(y-2)2-1的图形是怎样的？ 解根据题意有：≥-1，用平面：=c去截图形得圆： (x-1)2+(y-2)2=1+c(e≥-1)， 当平面：=c上下移动时，得到一系列圆，圆心在(1,2，©)，半 图5-46 径为√个+c,半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底 如图5-46所示. 二、旋转曲面 定义2一条平面曲线绕其平面上 一条定直线旋转一周所成的 曲面叫作旋转曲面，这条定直线叫作旋转曲面的轴。) ▣8回 设在0：坐标面上有一已知曲线L:八y,)=0,将L绕：轴旋转 就得到一个以：轴为旋转轴的旋转曲面S.入 设M,(0,y1,1)为L上任一点，则G)=0,当L绕：轴旋 旋转曲面 转时，点M,也绕：轴旋转到另一点(，y,),这时：=保持不 变（见图5-47）.M到：轴的距离d保持不变且等于|y|,而d=√+了2=|y,|或 为=±2+y2.由y,)发0得 f±2+y2,=0, (1) 这就是旋转曲面S的方程.容易看到，不在曲面 S上的点的坐标不会满足式(1)，因此式(1)就是以曲Mx) 线L为母线、：轴为旋转轴的曲面S的方程 由此可知，在曲线L的方程f(y,)=0中，变量： 保持不变，用±√？+户替换y,就得到曲线L绕：轴 旋转所形成的旋转曲面方程. 同理，曲线L:八y,z)=0绕y轴旋转所形成的 旋转曲面方程为 图5-47 fy,±x2+z2)=0. 例6直线L绕另一条与L相交的定直线旋转一周，所得旋转曲面称为圆锥面.两直 线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角α(0<a<于)称为圆锥面的半顶角.试建立顶 点在坐标原点，旋转轴为：轴，半顶角为α的圆锥面（见图5-48）方程. 34
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第四节曲面与曲线 解在0：面上，直线方程为L::=yco1a,因为旋转轴为： 轴，所以只有将直线方程L中的y改成±√？+了之， 锥面方程为 z=±2+y2cota 或 2=a2(x2+y2)(a=cota). 同样，我们可以得到如下常见的几个旋转曲面方程 (1)当y0:平面上的抛物线，y2=2z绕：轴旋转时，就得到一个 以：轴为旋转轴的旋转曲面，其方程为（±√2+y2)=2:,即 x2+y2=2印：，这是旋转抛物面（见图5-49）方程. 图5-48 (2)当0：平面上的+=1能：第旋转时，得到-个 以：轴为旋转轴的旋转曲面，其方程为子+上 ,2 =1，这是旋转椭球面（见图5-50 方程 邮电出版 图5-4 图5-50 (3)当x0:平面上的双曲线行 、=1绕x轴旋转时，就得到一个以x轴为旋转轴的旋 转曲面，其方程为三 y2+2 2 10见图5-5D:若：销能转就得到兰-三=1（见图 5-52),这是旋转双曲面方程，前者是双叶旋转双曲面，后者是单叶旋转双曲面 0(意
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第五章向量与空间解析几何 三、柱面 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫作柱面（见图5-53）.其中定曲 线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线 例如，在平面解析几何中，方程x2+y2=2表示xOy面上圆心在原点0、半径为R的圆 在空间直角坐标系中，这个方程不含竖坐标：，即无论空间点的竖坐标：怎样，只要它的横坐 标x和纵坐标y能满足这个方程，那么这些点就在这曲面上，因此，这个曲面可以看成是由平行 于：轴的直线L沿x0y面上的圆2+y2=R2移动而形成的.所以在空间解析几何中，x2+y2=R2 表示圆柱面（见图5-54），准线为x0y平面上的一个圆，母线是平行于z轴的直线. ↑Mxy,z) x22-R2 Mi(x.y,0) -0 CF(xy)0 图5-53 图5-54 一般地，设有一柱面，准线是xOy面上的曲线C: (F(x,y)=0, 其母线平行于：轴.点M(x,)是柱面上任意一点，过点M作平行于：轴的直线，交曲线 C于点M1.显然点M1和M有相同的横坐标和纵坐标（见图5-53）.由于点M(x,y,0)在曲 线上，故它的坐标满足准线的方程，即 F(x,y）=0 (2) 又式(2)与：无关，所以M(x,y,)的坐标也满足式(2).此外，对于不在柱面上的点， 它在xOy面上的垂足不在曲线C上，故其坐标不会满足式(2).因此，式(2)就是母线平行 于z轴、准线为曲线C的柱面方程. 类似地，母线平行于x轴，准线为y0:面上的曲线（见图5-55）： G(y,z)=0, x=0. 其柱面方程为 G(y,2)=0 母线平行于y轴，准线为Ox面上的曲线： (H(x,)=0, (y=0, ·36
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