第一节向量及其运算 .cosy 与a同方向的单位向量e。= (3)设、B、y是向量a的三个方向角，则sin2a+sin2B+sin2y= (4)设向量a=(2,-1,4)与向量b=(1,k,2)平行，则k= (5)已知三点M1(1,-2,3),M2(1,1,4),M(2,0,2),则M1M·M1M ,MM2×M1M= (6)以点A(2,-1,-2)、B(0,2,1)、C(2,3,0)为顶点，作平行四边形ABCD, 此平行四边形的面积等于 (7)向量a=(4,-3,1)在b=(2,1,2)上的投影Prja=」 ,b在a上的投 影Prj.b= (8)设a=(1,2,3),b=(-2,k,4),而a⊥b,则k= 2.一向量与x轴和y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴的夹角的两倍，求向量 的方向角. 3.给定M(-2,0,1),N(2,3,0)两点，在Ox轴上有-点A,满足IAM=1AW1, 求点A的坐标. 4.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)方向取长为34的线段AB,求点B的坐 标， 5.设点P在y轴上，它到点P1(2,0,3)的距离为到点P2(1,0,-1)的距离的两 倍，求点P的坐标 6设点4位于第1卦根，向径与：辅、)轴的夹角依次为号和牙，且1网=6， 求点A的坐标 7.证明：Prj(Aa)=入Pj,a 8.记e,为非零向量a的同向单位向量，证明：e,=a 9.求平行于向量a=i+7)j-6k的单位向量. 10.设向量a与各坐标轴成相等的锐角，|a=23,求向量a的坐标表达式. 11.已知a=(1,1,-4),b=(1,-2,2),求 (1)a·b:(2)a与b的夹角0；(3)a在b上的投影 12.已知两点M,(2,2,2)和M,(1,3,0),计算向量MM的模、方向余弦和方向角 13设a=3,1b=2,(ab)=号，求： (1)(3a+2b)·(2a-5b);(2)a-b| 14.已知点A(1,-3,4),B(-2,1,-1),C(-3,-1,1),求： (1)∠BAC;(2)AB在AC上的投影. 15.已知a=(2,3,1),b=(1,-2,1),求a×b及b×a 16.已知向量a=(2,-3,1),b=(1,-1,3),c=(1,-2,0),求： (1)(a+b)×(b+c);(2)(a×b)·c;(3)(a×b)×c;(4)(a·b)c-(a·c)b ·17
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第五章向量与空间解析几何 17.求与a=3i-2i+4k,b=i+广-2k都垂直的单位向量 18.已知空间四点A(-1,0,3),B(0,2,2),C(2,-2,-1),D(1,-1,1),求 与AB、CD都垂直的单位向量 19.设向量a=2i+j,b=-i+2k,求以a、b为邻边的平行四边形的面积 20.求以点A(1,2,3)、B(0,0,1)、C(3,1,0)为顶点的三角形的面积 21.设A=2a+b,B=ka+b,其中|al=1,1b1=2,a⊥b,问： (1)k为何值时，A⊥B? (2)k为何值时，以A与B为邻边的平行四边形的面积为6？ 22.已知a=2m+3n,b=3m-n,m、n是两个互相垂直的单位向量，求： (1)a·b:(2)a×b. 23.设a、b、c满足a+b+c=0. (1)证明：ab+bc+ca=-2laP+bP+lcP) (2)若还满足1a=3,1b=4,1c=5,求a×b+b×c+c×a 24.设a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b之间的夹角6 25.试用向量方法证明三角形的余弦定理. y7 26.利用向量积证明三角形正弦定理 27.已知向量a≠0，b≠0，证明： 1a×b12=la2b12-(a·b)2 28.已知a、b、c两两垂直，且1al=,b=2,1cl=3,求s=a+b+c的长度及 它和a、b、c的夹角。 29.已知a=(7,-4,-4),(2,-1,2),向量c在向量a与b的角平分线上， 且c=3V42,求c的坐标父/ 30.设向量x与j成60°，与k成120°，且|x|=52,求x 第二节平面及其方程 [课前导读] 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程一曲线方程的 概念，同样，在空间解析几何中，任何曲面都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹，动 点的轨迹也能用方程来表示，从而得到曲面的概念 平面是空间中最简单而且最重要的曲面，本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标 系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质 一、平面的点法式方程 由中学立体几何知道，过空间一点，与已知直线垂直的平面是唯一的.因此，如果已 18
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第二节平面及其方程 知平面上一点及垂直于该平面的一个非零向量，那么这 个平面的位置也完全确定了.现在，根据这个几何条件 来建立平面的方程 首先我们给出平面的法线向量的定义：如果一个非 零向量垂直于一个平面，则该向量就称为该平面的法线 向量（简称平面的法向量）.显然，一个平面的法向量有 无穷多个，它们之间互相平行，且法向量与平面上的任 何一个向量都垂直（见图5-33）. 图5-33 设M(x0,0,0)是平面Ⅱ上的一个定点，且已知 该平面的法向量n=(A,B,C),则对于平面上的任一点M(x,y,z),由于向量M =(x-x0,y-0,2-0)必与平面Ⅱ的法向量n垂直，于是有MoM·n=0,即 A(x-xo)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (1) 式(1)是以x、y、z为变量的三元一次方程，从上面的推导过程可以看到，平面Ⅱ上 任意一点M(x,y,)的坐标一定满足方程，而若点M(x,/y,2)不在平面上，则Mo与 n不垂直，即Mo·n≠0，即点M(x,y,)不满足方程，因此式(1)就是平面Ⅱ的方程， 又因为我们是在给定平面上的一个点M,(x,y0,0人和它的个法向量n=(A,B,C)的 条件下得到的式(1)的，因此式(1)又称为平面的点法式方程 例1求过点(2,3,1)且与n=(-1,2,0)垂直的平面的方程 解根据平面的法向量的概念，向量（◇，-2,0）即为所求平面的一个法向量 所以由平面的点法式方程可得 -1·(x-2)2.y -3)+0·(z-1)=0, 即 (x-2)+2(0-3)=0,或x+2y-8=0. n=MM×MM 例2求过点M1(1,-1,-2)、M2(-1,2,0)及 M(1,3,3)的平面的方程。 M 解由于三点M1、M2、M,均在平面上，所以 M,M2、M,M3与平面平行，由向量积的概念可知， 向量M,M×M1M与M1M、M1M都垂直，即与所 图5-34 求平面垂直，因此它是平面的一个法向量（见图5- 34),而 M1M=(-1)-1,2-(-1),0-(-2)=(-2,3,2), M1M3=(1-1,3-(-1),3-(-2)）=(0,4,5), i j k 取n=M1M2×M1M3= -232=(7,10,-8),则平面方程为 045 7(x-1)+10(y+1)-8(z+2)=0,即7x+10y-8z-13=0. 19
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第五章向量与空间解析几何 二、平面的一般方程 由平面的点法式方程(1)知任一平面的方程都是三元一次方程，反之，可以证明任何 一个三元一次方程 Ax +By +Cz D=0 (2) ▣▣ 一定表示平面 任取一组(x0,y0,0)满足 Axo Byo +Czo +D=0, (3) (2)-(3)得A(x-x)+B(y-0)+C(:-0)=0,即为平面的点 ▣* 法式方程(1). 平面方程 由于式(2)与式(1)是同解方程，故表明三元一次方程的图形一定是平面. 方程Ax+By+C:+D=0称为平面的一般方程，其中n=(A,B,C)即为该平面的一个 法向量 对于一些特殊的三元一次方程所表示的平面，应该熟悉它门图形的特点。 (1)当D=0时，式(2)成为Ax+By+Cx=0,显然，原点0(0,0,0)的坐标满足此 方程，因此，方程Ax+By+C:=0表示过原点的平面人 (2)当A=0时，B+Cz+D=0所表示的平面的法向量为n=(0,B,C),法向量n在 x轴上的投影为零，故与x轴垂直，所以该平面与x轴平行：同理，当B=0时，平面 Ax+Cz+D=0平行于y轴；当C=0时，乎面Ax+B+D=0平行于：轴 (3)当A=B=0时，平面Cz+D=0的法向量为n=(0,0,C),法向量n在x轴和y 轴上的投影都为零，故与x轴和y轴都垂直，即与xOy面垂直，所以该平面平行于xOy面： 同样，当B=C=0或A=C=0时，式(2成为Ax+D=0或By+D=0,它们分别表示与 y0:面或与0x面平行的平面◇， 特别地，方程x=0,太=0，y三0分别表示了三个坐标面：x0y面、yOz面和zOx面· 例3求通过x轴和点(2,4,1)的平面方程. 解法一设所求平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,因为所求平面通过x轴，且 法向量垂直于x轴，于是法向量在x轴上的投影为零，即A=0 由于平面通过原点，所以D=0,从而方程成为 By +Cz=0, (4) 又因平面过点(2,4,1)，因此有4B+C=0,即C=-4B.以此代入式(4)，再除以 B(B≠0)，便得到所求方程为 y-4z=0. 解法二因为所求平面通过x轴，故原点O(0,0,0)在平面上，向量 0M=(2-0,4-0,1-0)=(2,4,1) 在平面上，又x轴的单位向量i=(1,0,0)与平面平行，于是向量积0×i与平面垂直， 即它是平面的一个法向量，而 i方k 0M×i=241= 20
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第二节平面及其方程 根据平面的点法式方程，得到所求方程为 y-4z=0. 三、平面的截距式方程 例4设一平面与x、y、z轴分别交于点P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c) (abc≠0)，求这个平面的方程（见图5-35）. 解设平面的一般方程为 Ax By +Ca +D=0 (5) 分别将上述三点的坐标代人方程，得 Aa+D=0,B6+D=0,Cc+D=0, 即 D A=- ,B=- 代入式(5)得 图5-35 -D.DD 。-6y- 2+D=0(这里D≠0 即 x +兰+三=1称为平面的截距式方程.a、b和c叫作该平面的截距 a b 四、平面与平面、点与平面的关系 1.两平面的夹角 两平面的法向量所夹的锐角（或直角）称为两平面的夹角（见图5-36） 设平面Ⅱ，的方程为 Ax+By+C z+D=0 平面Ⅱ，的方程为 A2x+B2y+C2:+D2=0, 即 1y n1=（A1,B1,C1),2=(A2,B2,C2), 图5-36 则平面Ⅱ，与平面Ⅱ，的夹角0=（Ⅱ，Ⅱ，）的余弦为 Inn2 A:A2 +BB2 +CC2 cos0 mmaCB+C 由此可推得两个平面平行和垂直的充要条件 ·21·
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