第五章向量与空间解析几何 (a) (b) 图5-26 Alylcos0=Ap·n(=Avl川cos(,n),故单位时间内经过这区域流向n所指一方的液 体的重量P=pAv·n. 五、向量积 在研究物体转动问题时，不但要考虑物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩， 如图5-27所示，设杆L,支点为0，受力F作用，由力学可知，力F对支点0的力矩是 一个向量M,其大小为 IMI=1001oplIFlsine, 其方向为：M垂直于OP与F所在平面，M的指向是按右手规则从OP转向F,转角不 超过π，此时，大拇指的方向就是M的指向（见图5-28）. ▣ ■ ▣ 04 向量积 0 M-OPxF 图5-27 图5-28 定义2若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件（见图5-29）： (1)c的方向既垂直于a又垂直于b,c的指向按右手规则从a转向b来确定； (2)c的模c|=al‖bsine(其中0为a与b的夹角)， 则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为 c=a×b. 按此定义，上面的力矩M等于OP与F的向量积，即 M=OP×F. 12
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第一节向量及其运算 根据向量积的定义，即可推得 (1)a×a=0: (2)设a、b为两非零向量，则a//b的充分必要条 件是a×b=0. 证(I)la×al=lallalsin(a,a)=0. (2)→已知a/b,即(a,b)=0或(a,b)=T,故 sin(a,B)=0, 即la×b|=lallblsin(a,b)=0,a×b=0. 仁若已知a×b=0,即 a b sin(a,b)=0, 故sin(a,b)=0,(a,b)=0或(a,b)=T,因此 a//b. 由此可知，空间三点A、B、C共线的充分必要条件 -29 是AB×AC=0. 向量积满足下列运算规律 (1)a×b=-b×a: (2)分配律(a+b)×c=a×c+b×c: (3)结合律A(a×b)=(Aa)×b=a×①b)(为实数) 证明请读者自己完成. X 下面我们来推导向量积的坐标表示式 设a=(a,ay,a:)=a,i+tk,b=(b,b,b,)=b.i+b,广+b.k,则 a×b=(a,i+a,jfak)×(b,i+b,j+b.k) =a,b,i×i+ab,i×对j+a,b.i×k+a,bj×i+a,b,j×j+a,bj×k +abk×i+a.b,k×j+a.bk×k, 注意到i×i=j×jk×k=0,i×j=k,j×k=i,k×i=j,并利用二、三阶行列式的 计算公式（见本章的拓展阅读），则有 a x b =ab k-a b:j-a,bk +a,bi+ab,j-ab i =(a,b:-ab,)i-(a,b:-ab)j+(a by-a,b:)k =% D a.a.is i+(-1) by b: i j k =ax ay a. by by b. 由此可得：若a≠0，b|≠0，则 a×b=0台a//b台a,b.-a.b,=0,ab.-ab.=0,ab,-a,b.=0, 即==（亦即a=Ab,入为实数 ·13
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第五章向量与空间解析几何 例13求与a=3i-2i+4k,b=i+广-2k都垂直的单位向量 i jk i j k 解c=a×b=axa,a:=3-24=10i+5k, b.6611-2 因为1e=0+=55,所以e=±问=±气房+店 c 1 j+k 例14在顶点为A(1,-1,2)、B(5,-6,2)和C(1,3,-1)的三角形中，求AC边 上的高BD. 解AC=(0,4,-3),AB=(4,-5,0),根据向量积的定义，可知三角形ABC的 面积为 s=1imLA=子C×店=5+12+16=2 又 所以25、1 2=2·51BD,从而1BD1=5. 例15设向量m,n,p两两垂直，符合右手规则，且 |m=4,n=2,p3, 计算(m×n)·p. 解Im×nl=m川sin(mn=4×2×1=8,依题意知m×n与p同向，则 0=(m×n),p)=0,(m×n)·p=lm×npl cose0=8·3=24. 例16◇设刚体以等角速度ω绕1轴旋转，计算刚体上一点M的线速度。 解刚体绕1轴旋转时，我们可以用在轴上的一个向量ω表示角 速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则写出，即右 手握住1轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大 拇指的指向就是w的方向，如图5-30所示.设点M至旋转轴1的距离 为a,再在1轴上任取一点0，作向量r=0并以0表示w与r的夹 角，则a=|rl sin0.设线速度为v,那么由物理学上线速度与角速度 的关系可知，y的大小为 图5-30 Iv=l a=wll rl sine; v的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即v垂直于w与r: 又v的指向是使w、r、y符合右手规则，因此有 y=ωXr. 六、混合积 定义3设已知三向量a、b、c,先作向量积a×b,再作数量积(a×b)·c,记作 14
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第一节向量及其运算 [abc],称为三个向量a、b、c的混合积 下面我们来看混合积的坐标表示式· a=(as,ay,a.)=ai+avj+ak,b=(b,by,b.)=b,i+bj+bk, c=(cx,cy,c:)=ci+cyj+ek, i j k a×b=ax dy a.= ay a. 66666 cx cy e: (a×b)·c= ay a: b,b,b. as ay a.bs by b b.b、b= ex ey c:ax ay a: 由此可得： [abc]=(a×b)·c=(b×c)·a=(c×a)·b=c·(a×b)=a·(b×c)=b·(c×a) 混合积是一个数，它的绝对值表示以向量α、b、c为棱的平行六面体的体积. 若a、b、c成右手系时，[abc]≥0：若a、b,c成左手系时，[abc]≤0. 事实上，由于|a×b=albsin(a,b)表示边长为|a、b|的平行四边形面积（见 图5-31)，若a×b与c在a、b所在平面的一侧，即a×b与c之间的夹角0为锐角，则 (a×b)·c=|a×b|c cos0>0:若a×b与c在a、b所在平面的两侧，即a×b与c之间的 夹角0为钝角，则(a×b)·c=|a×bccos0<.0.而|ccos0为平行六面体的高，因此 V=±|a×ble cos0=±[abc](见图5-32). a×b 6 S-laxb 图5-31 图5-32 非零向量a、b、c共面的充分必要条件是[abc]=0. 由此可知，空间四点A、B、C、D共面的充分必要条件是[ABA元AD=0. 例17已知(a×b)·c=2,计算[(a+b)×(b+c)]·(c+a). 解[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=[a×b+a×c+b×b+b×c]·(c+a) =(a×b)·c+(a×c)·c+(b×b)·c+(b×c)·c +(a×b)·a+(a×c)·a+(b×b)·a+(b×c)·a =(a×b)·c+0+0+0+0+0+0+(a×b)·c =2(a×b)·c=4. ·15
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第五章向量与空间解析几何 例18已知空间内不在同一平面上的四点 A(1,y1,),B(x2,2,2),C(3,3,3),D(x4,y4,4), 求四面体ABCD的体积 解由立体几何知，四面体的体积等于以向量A、AC、AD为棱的平行六面体的体积 的六分之一，即 V=名[证花. 而 AB=(x2-x1,2-,2), A元=(x3-,-1,3-), AD=(x4-x1,y4-1,4-a1), x2-x1y2-22-3 1 所以V=±6 3-x13-为1-式中正负号的选择必须和行列式的符号一致. x4-x1y4-y124-31 例19已知a=i,b=j-2k,c=2i-2ji+k,求一单位向量Y,使y⊥c,且y与 a、b同时共面， 解设所求向量y=(x,y,2.依题意y=L,即 x2+221, (1) 由Y⊥c,可得 y·c￥0，即 X2x-2y+z=0, (2) 由y与a、b共面，可得心aby]=0,即 10.0=2y+z=0 (3) 01-2 将式(1)、式(2)与式(3)联立解得 2 1 3,或x2 (212) 所以y=±5,3 习题5-1 1.填空题， (1)已知点A(2,-1,1),则点A与z轴的距离是 ,与y轴的距离是 ,与x轴的距离是 (2)向量a=(-2,6,-3)的模为a= 方向余弦为 16
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