第一节向量及其运算 点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两个有向线段A与M正，使它们的模的比 等于某数AA≠-1D,即=A,求分点M的坐 IMEI 标x、y和. 解如图5-21所示，因为A、M店在一直线上，故 AM=A MB. 而A=(x-x,y-1,-), B=(x2-x,2-y,3-),因此 (x-1，y-1,名-)=(-，2-，-)， 图5-21 即x-为=A(2-x),y-为=A02-y）,2-=A(3-), 可得 尝 y+Ay2 点M叫作有向线段A店的定比分点，当入=1时，点M是有向线段A厉的中点，其坐标为 2 2 2 例5设m=3i+5j+8k,n=2i-4-7k,p5i-4k,求a=4m+3n-p在x轴上的坐标及 在y轴上的分向量. 解a=4m+3n-p=4(3i+5列t8k)+3(22-7k)-(5i+j-4k)=13i+7万+15k, 所以a在x轴上的坐标为13，在y轴上的分向量为j 三、向量的模、方向角、 设a为任意一个非零向量，又设a、B、y为a与三坐标轴正向之间的夹角(0≤a, B,y≤T),如图5-22所示，则a、B、Y分别为向量a的方向角，由于向量坐标就是向 量在坐标轴上的投影，故有 a,lalcosa,a,lalcos8,a,lalcosy 其中，cosa,cosB、cosy称为向量a的方向余弦，通常用来表示向量的方向. 由模的定义，可知向量a的模为 a=√(x2-x1)2+(32-y1)2+(2-) =a2+a+a. d 或cosa= a t aa √a2+a2+a +y d. 图5-22 .7
人民邮电出版社
第五章向量与空间解析几何 由此可得 cos2a cos2B cos2y =1, 即任一非零向量的方向余弦的平方和为1，进一步， e.-a-a 1 (as,ay,a.)=(cosa,cosB,cosy). +a+a 例6设两已知点M1(2,2,2)和M2(1,3,0),分别写出向量MM、M2M的坐 标表示式和向量表示式，计算它们的模、方向余弦、方向角、同向单位向量， 解向量M1M=(1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-2)=-i+j-V2k, M2M=-M1M2=-(-1,1,-2)=(1,-1,2)=i-j+V2k. 模1M1M=1M2MI=√(-1)2+12+(-2)2=2. M,M的方向余弦为 1 2，cosy1 对应的方向角为 01= 3T,B1= 同理可得M2M的方向余弦为 c0s32 cosy?= 2； 对应的方向角为 1 3,s1 -（112 与M,所同向的单位向量为ew-22-2): 与观可同向的单位向量为以-仔一子到 例7求平行于向量a=6i+j-6k的单位向量. 解所求向量有两个，一个与a同向，一个与a反向， 由于a=√62+72+(-6)2=11，故 。日+7。日片后+ 6 例8已知向量PP的模为1P,乃1=2，向量与x轴和y轴的夹角分别为号和牙， 如果P的坐标为(1,0,3)，求P2的坐标 解设向量PP的方向角分别为a、B、y 8
人民邮电出版社
第一节向量及其运算 B牙则ma=行wg= 因为a=” 2 又因为o2a+cs9+cs2y=1,所以cy=±行，可得y=号或y 设P2的坐标为(x,y,) 22,解方程可得x=2, 可知，1=， t由cosa=P,P2 由吧骨可知号，解方餐可得，江 2 3可知3=± 由cosy=P,P2 2=±2，解方程可得：=4或：=2， 因此，P,的坐标为(2,2,4)或(2,2,2) 四、数量积 首先我们来看一个引例. 设一个物体在恒力F作用下，沿直线从点M移动到点M,(见图5-23)，以s表示位 移M,M,.由物理学知道，力F所做的功为W=FlS个c0s8(见图5-24)，其中6为F与s的 夹角 ▣塔▣ F ▣ d 数量积 图5-23 图5-24 从这个问题可以看出，我们有时要对两个向量做这样的运算，运算的结果是一个数， 它等于这两个向量的模及它们夹角的余弦的乘积.我们把这 个数称为这两个向量的数量积（也称为内积或点积）（见 图5-25). 定义1给定向量a与b,我们将a与|b|及它们的夹 角0的余弦的乘积，称为向量a与b的数量积，记为a·b,即 图5-25 a·b=lallblcose0=alblcos(a,b)(0≤0≤π). 由数量积的定义可知，恒力F沿直线从点M1移动到点M2,所做的功为 W=FM M2 cose F.MM2. 由定义1可以推出： (1)a.b=a Pri b=b Pria; .9
人民邮电出版社
第五章向量与空间解析几何 (2)a.a=lallalcos(a,a)=lal2; (3)若a≠0，|b|≠0，则a·b=0a⊥b. 证若已知ab=0,即ao(a,b)=0,故cos(a,b)=0,(a,b)=7,因此 a⊥b; 反之，若a1b,即(a,b)=受，故es(a,b)=0,从面abcs(a)=0,因 此a·b=0. 数量积符合下列运算规律. (1)交换律：a·b=b·a. 证a·b=|a|bcos(a,b)=|b|acos(b,a)=b·a (2)分配律：(a+b)·c=a·c+b·c. 证(a+b)·c=|c Pri.(a+b)=|cl(Pj.a+Pj.b) =lclPri.a+|cPri.b=a·c+b·cg (3)(Aa)·b=a·(Ab)=A(a·b)(其中是实数 证当入=0时，三者均为零，显然成立： 当A>0时，(aa)·b=Aallblcos(Aa,b)=Atallblcos(a,b)=A(a·b) lallablcos(a.Ab)a (b) 当A<0时，(Aa)·b=|Aallbleos(Xa,b)=-alallbleos(r-(a,b) =入a|bcos(a,b)∈A(a·b) =-Alal]bleos(-(a,b)) =allablcos(a,Ab)=a.(Ab). 类似地，可证得（入a)人·ab)=入u(a·b). 下面来看两向量的数量积的坐标表示式. 设a=(a,ay,a）=ai+aj+a,k,b=(b,b,b)=b,i+b,j+b,k,则 ab=(a i+aj+ak)(bi+bj+bk) =abi·i+anbi·j+abi·k+a,bxj·i+a,b,j"j+a,bj·k +abk·i+ab,k·j+a,bk·k, 注意到ii=jj=k·k=1,ij=jk=ki=0,则有 a·b=a,bx+a,b,+ab: 由此可得：若a≠0，|b≠0，则 ab:+a,by+a.b: cos(a.b)=Tab+t a.b=0台a上b0,b,+a,b,+a:b:=0. 例9利用向量证明不等式： √a+a+a6+6+b≥lab+ab2+a,b3l, ·10·
人民邮电出版社
第一节向量及其运算 其中a1、a2、a、b1、b2、b3为非零常数，并指出等号成立的条件 证设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a1b+azb2 +a3b3 cm(a》=7aE+g++g+E a·b 从而 a+a+alab+azb2 agb3, 等号成立当且仅当a//b. 例10已知a=(1,1,-4),b=(1,-2,2),求： (1)a·b;(2)a与b的夹角0；(3)a在b上的投影 解(1)由数量积的坐标表达式可知 a·b=1·1+1·(-2)+(-4)·2=-9. (2)因为 c0s0=a,6.+0,4,+a.b -9 √a+0+√+6+6P+12+(-4)+0-2)2+2 所以0=识 (3)由a·b=bI Prj6a,可得 Prjna 例11已知a+3b17a-5b,a4b17a-2b,试求(a,b) 解根据题意，有 j(a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)·(7a-2b)=0, % 7|a2+16a·b-15b2=0, (7|a2-30a·b+8|b12=0. 两式相减得a·b=了1b,代人第一个方程得a=b1, 因此 cos(a.b)=-ab=a:b1 lallb-1b2=2 即(ao)=号 例12液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为 (常向量)，设n为垂直于S的单位向量（见图5-26）、计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的重量P(液体的密度为p). 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A,斜高为的斜柱体，这柱 体的斜高与底面的垂线的夹角就是，与n的夹角0.所以这柱体的高为cos0,体积为 ·11
人民邮电出版社