收敛分析 多步法 收敛的两个条件 1)局部条件:“一步法”误差较小(连续性) 可以用泰勒奇数证明 2)全局条件:单步误差不会快速增加(稳定性) 在这种情况下,所有一步法(K=1)都是稳定的 多步法(K>1)需要详细分析
多步法 收敛分析 收敛的两个条件 1）局部条件：“一步法”误差较小（连续性） 可以用泰勒奇数证明 2）全局条件：单步误差不会快速增加（稳定性） 在这种情况下，所有一步法（K＝1）都是稳定的 多步法（K>1）需要详细分析
收敛分析 多步法 全局误差等式 多步法公式:2-△∑=0 精确解基本上和多步法一致: ∑ai(t)-△∑Bx(t)= 局部切断误差(LTE) 全局误差:E=() 差分方程将局部切断误差和全局误差联系起来 (a1-△MA)E+(1-△B)E+…+(a1-△B)E==e
多步法 收敛分析 全局误差等式 0 0 ˆ ˆ 0 k k lj lj j j j j av t v β λ − − = = 多步法公式： ∑ ∑ − ∆ = 精确解基本上和多步法一致： ( ) ( ) 0 0 ˆ k k l j lj j lj j j d av t t v t e dt − − β = = ∑ ∑ − ∆ = 局部切断误差（LTE） 全局误差： ( ) ˆ l l E l ≡ − vt v 差分方程将局部切断误差和全局误差联系起来 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 11 l l lk l k k a tE a tE a t E e λβ λβ λβ − − − ∆ + −∆ + + −∆ =
收敛分析 前欧拉法 前欧拉法的连续性 前欧拉法的定义+-y-△t=0 分解精确解ν()并展开得 (+12)-n(△)-2△ dh(△)(△)dv(r) d t 1二 r∈[△(+) 其中e为局部切断误差,其范围:≤C( (M)2 当C=0.5时 m ax r∈[0,T] d
1 ˆˆ ˆ 0 ll l v v tv λ + − −∆ = 前欧拉法 收敛分析 前欧拉法的连续性 前欧拉法的定义 分解精确解v（t）并展开得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 l e dv l t t d v v l t vl t t dt dt ∆ ∆ τ + ∆ − ∆ −∆ = 其中 l e 为局部切断误差，其范围： ( )2 l e Ct ≤ ∆ ，当C＝0.5时 d v v dt = λ τ ∈ ⎡ltl t ∆ +∆ , 1 ( ) ⎤ ⎣ ⎦ [ ] ( ) 2 m ax 0 ,T 2 d vd t τ τ ∈
收敛分析 前欧拉法 全局误差方程 前欧拉法定义 y+=1+△A 利用局部切断误差定义 (+2=△-20+ 上式左右相减得全局误差方程 E=(1+△AE+e 利用e的数量值及其范围得 Es+0E+++C(
前欧拉法 收敛分析 全局误差方程 前欧拉法定义 1 ˆl v + ˆl = v + ˆl ∆t v λ 利用局部切断误差定义 (( 1) ) ( ) () l v l t vl t t l t e + ∆ = ∆ −∆ ∆ + λ 上式左右相减得全局误差方程 1 ( ) l ll E I tE e λ + = +∆ + 利用 l e 的数量值及其范围得 ( ) ( )2 1 1 l ll l E I tE e t E Ct λ λ + ≤ +∆ + ≤ +∆ + ∆