数值模拟导论—第十三讲 多步法收敛性 Jacob white 合作伙伴 Deepak ramaswamy, MichalRewienski, and Karen vero
数值模拟导论——第十三讲 多步法收敛性 Jacob White 合作伙伴Deepak Ramaswamy, MichalRewienski, and Karen Veroy
说要 多步法的小时间步问题 局部切断误差 选择系数 不收敛法 稳定并连续则收敛 下一章讨论大时间步问题 两个时间刻度实例的绝对稳定性 震荡器
概要 多步法的小时间步问题 局部切断误差 选择系数 不收敛法 稳定并连续则收敛 下一章讨论大时间步问题 两个时间刻度实例的绝对稳定性 震荡器
基本方程式 多步法 通用符号 非线性差分方程 (=x(0.a k步法 -1 xx多步法系数 k 离散点的解 时间离散化 k
() () () ( ) , d xt f xt ut dt = 多步法 基本方程式 通用符号 非线性差分方程 k步法： ( ) ( ) 0 0 ˆ ˆ , k k lj lj j j lj j j ax t f x ut β − − − = = ∑ ∑ = ∆ 离散点的解 时间离散化 多步法系数
基本方程式 多步法 通用算法 多步法方程:∑0=△∑B(a( 前欧拉近似法:x()=2x()△0f(x().2() 前欧拉离散方程:一=△0(2,(4) 多步法系数:k=1,a12=1,a1=-1,A,=0.B=1 后欧拉法离散方程:-=△(, 多步法系数:=1a1=1.(1=-1B=1A=0 抽捉法高散方程:=((2(0(2(0 多步法系数:1=1.1=-1,B=,B 22
( ( )) 1 1 1 ˆˆ ˆ , ll l l x x tf x u t − − − =∆ − ( ( )) 1 ˆˆ ˆ , ll l l xx tf x ut − − =∆ 多步法 基本方程式 通用算法 多步法方程： ( ) ( ) 0 0 ˆ ˆ , k k lj lj j j lj j j ax t f x u t β − − − = = ∑ ∑ = ∆ 前欧拉近似法： x t x t tf x t u t ( ll ll ) ≈ ∆ ( − −− 1 11 ) ( ( ), ( )) 前欧拉离散方程： 多步法系数： 01 01 k =1, 1, 1, 0, 1 α = =− = = α ββ 后欧拉法离散方程： 多步法系数： 0 1 01 k =1, 1, 1, 1, 0 α = =− = = α ββ 捕捉法离散方程： ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 1 1 ˆˆ ˆ ˆ ,, , 2 ll l l l l t x x f x ut f x ut − − − ∆ − = 多步法系数： 01 0 1 1 1 1, 1, 1, , 2 2 k = αα β β = =− = =
基本方程式 多步法 定义及考察 多步法方程:∑=△∑Bf(2“(=) 1)若B≠0则多步法是绝对的 2)k步法在x's和∫S之前用到k 3)需要范数化,都有a 4)k步法有2k+1个自由系数 需要高的精度时如何选择合适的系数?
多步法 基本方程式 定义及考察 多步法方程： ( ) ( ) 0 0 ˆ ˆ , k k lj lj j j lj j j ax t f x u t β − − − = = ∑ ∑ = ∆ 1）若 β ≠ 0 则多步法是绝对的 2）k步法在 xs f s ' ' 和 之前用到k 3）需要范数化，都有 0 α ＝1 4）k步法有2k＋1个自由系数 需要高的精度时如何选择合适的系数？