多步法 简化问题分析 标量ODE:-10=00=2C 为什么会出现这样的简单测试问题? ●非线性分析有很多微妙的现象没有揭示 ●对于多步法标量等同于矢量 x(1)=4()多步法离散化=∑a=△∑B 令E()=x()=∑ay=△∑ B,E AEy 离散方程=∑ay=△∑B
() () 0 0 ˆ ˆ k k lj lj j j j j d x t Ax t a x t x dt β − − = = = ⇒ =∆ 多步法离散化 ∑ ∑ () () 1 0 0 ˆ ˆ k k lj lj j j j j Ey t x t a y t E AEy β − − − = = 令 = ⇒ =∆ ∑ ∑ 多步法 简化问题分析 标量ODE： () () ( ) 0 , 0 C d vt vt v v dt =λ λ = ∈ 为什么会出现这样的简单测试问题？ z非线性分析有很多微妙的现象没有揭示 z对于多步法标量等同于矢量 1 0 0 ˆ ˆ k k lj lj j j j j n ay t y λ β λ − − = = ⎡ ⎤ ⇒ =∆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 离散方程 ∑ ∑ %
多步法 简单问题分析 标量ODE:-(=(0)0=nA∈C 多步法标量公式:∑a的=△∑BA 对于所有λ∈C都必须考虑λ的值 Im(n Re(a) Sootonnalzcss
多步法 简单问题分析 标量ODE： () () ( ) 0 , 0 C d vt vt v v dt =λ λ = ∈ 多步法标量公式： 0 0 ˆ ˆ k k l j l j j j j j av t v β λ − − = = ∑ ∑ = ∆ 对于所有 λ ∈C 都必须考虑λ的值
收敛分析 多步法 收敛定义 定义:对于给定的任何初始条件,用多步法求解0,T上的初值问题是收敛的。 当△t→>0时max v{(△t→>0 computed with△t △t computed Wi ith
多步法 收敛分析 收敛定义 定义：对于给定的任何初始条件，用多步法求解[0,T]上的初值问题是收敛的。 ( ) 0, 0 max 0 ˆl T l t t v vl t ⎡ ⎤ ∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∆ 当 时 ∆ → − ∆→
收敛分析 多步法 P阶收敛 定义:对于任一给定的A和任何初始条件,用多步法求解0T上的初 值问题是P阶收敛的 对于所有小于给定的的M max v(△CN≤C(△x)2 △t 前欧拉法和后欧拉法都是1阶收敛的,梯形法则是2阶收敛的
多步法 收敛分析 P阶收敛 定义：对于任一给定的λ和任何初始条件，用多步法求解[0,T]上的初 值问题是P阶收敛的。 对于所有 0 小于给定的 的∆t t ∆ ( ) ( ) 0, max ˆ p l T l t v vl t C t ⎡ ⎤ ∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∆ − ∆≤ ∆ 前欧拉法和后欧拉法都是1阶收敛的，梯形法则是2阶收敛的
收敛分析 多步法 实例反应方程 M10°后欧拉法 axError I10 梯形法 前欧拉法 10时间步 前欧拉法和后欧拉法,误差∞△t 后欧拉法,误差∞(△t)2
多步法 收敛分析 实例反应方程 前欧拉法和后欧拉法，误差∞Δt 后欧拉法，误差∞（Δt）²